高考數(shù)學(xué)巧遇拉格朗日中值定理

摘 要：高中數(shù)學(xué)新課程新增加了近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，這為中學(xué)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了活力，也為解決一些初等數(shù)學(xué)問題的方法提供了更多的選擇. 尤其在近幾年的高考中，出現(xiàn)了以拉格朗日定理為背景的試題. 本文并非想要用拉格朗日中值定理結(jié)論來解決高考題，因為前人已經(jīng)做的夠多了，在此本文是試圖探索運(yùn)用拉格朗日中值定理的思想來解決高考題，體現(xiàn)的是高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；高考題；不等式

拉格朗日中值定理及其證明

拉格朗日中值定理，若函數(shù)f滿足如下條件:

（Ⅰ）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù);

（Ⅱ）f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得 f′（ξ）=.

證明：設(shè)k=?圯f（b）－f（a）－k（b－a）=0.

構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）－f（a）－k（x－a），則g′（x）=f′（x）－k.

由于g（x）在［a，b］連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，g（a）=g（b）=0.

根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈（a，b）使g′（ξ）=f′（ξ）－k=0，

即f′（ξ）=k=，定理得證.

例解拉格朗日中值定理思想在高考題的運(yùn)用

例1 （2004年四川卷第22題）

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=xlnx.

（I）求函數(shù)f（x）的最大值;

（II）設(shè)0

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）證?搖 先考慮要證的不等式0

由題意可知g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，構(gòu)造函數(shù)G（x）=g（a）+g（x）－2g（1）.

在（1）式中由于x是自變量，則相對來說a是一個固定的數(shù)，

對函數(shù)G（x）兩邊求導(dǎo)，則有G′（x）=g′（x）－2g′.

由于g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，

則G′（x）=lnx+1－2ln+=lnx－ln.

當(dāng)0

當(dāng)x>a時，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上為增函數(shù).

從而，當(dāng)x=a時，G（x）有極小值G（a）.

因此G（a）=0，由于b>a，所以G（b）>0，即0

設(shè)F（x）=G（x）－（x－a）ln2，則F′（x）=lnx－ln－ln2=lnx－ln（a+x）.

當(dāng)x>0時，F(xiàn)′（x）<0，因此F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

因為F（a）=0，b>a，所以F（b）<0，即g（a）+g（b）－2g<（b－a）ln2.

綜上，0

分析：這是應(yīng)用拉格朗日中值定理思想的一個例子（以下的例題將省略此部分的分析），根據(jù)上述證明我們可以看到，g（x）可導(dǎo)，且據(jù)觀察就可以看出原題可以換成

?搖g（a）+g（b）－2g=g（b）－g－g-g（a）

再進(jìn)一步變形g（a）+g（b）－2g=×

此式中具有拉格朗日中值定理的形式，且在此式中有兩個參數(shù)a和b，于是選定一個主元b，并構(gòu)造出主元b的函數(shù)“G（b）=g（a）+g（b）－2g”，把函數(shù)化成我們所熟悉的以x為自變量的函數(shù)“G（x）=g（a）+g（x）－2g（）”，再對構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)“G′（x）=g′（x）－2g′”，這個求導(dǎo)過程便是進(jìn)一步靠近拉格朗日中值定理表達(dá)式的形式的方法.再通過函數(shù)G（x）的求導(dǎo)得出函數(shù)G（x）本身的性質(zhì):

“當(dāng)0

當(dāng)x>a時，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上為增函數(shù).

從而，當(dāng)x=a時，G（x）有極小值G（a）.”

最終通過函數(shù)G（x）得出原不等式“0

評價：從題目問題中看，未能看到f（x）和g（x）的聯(lián)系，兩個小題沒有本質(zhì)上的聯(lián)系，第（Ⅰ）題只是用到f（x）而沒有用g（x），而第（Ⅱ）題不需要第（Ⅰ）題的結(jié)果也可以單獨(dú)解出. 參考答案中要聯(lián)系第（Ⅰ）題中的ln（1+x）－x<0（x>－1，且x≠0）才能求解第（Ⅱ）題，學(xué)生會較難想到要運(yùn)用第一小題的結(jié)論，而且解第（Ⅰ）題需要花較多的時間，這使得有限的時間變得更少，這樣，對于學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn). 若運(yùn)用拉格朗日中值定理不僅可以不用考慮第（Ⅰ）題的結(jié)論，而且可以運(yùn)用拉格朗日中值定理較快接近證明的結(jié)果，不需要太多技巧，經(jīng)過適當(dāng)?shù)牟襟E，就可以輕松的得到結(jié)論.

?搖可以運(yùn)用拉格朗日中值定理來解決問題的高考題有：（在這里不一一具體解答）

1. （2006年四川卷理第22題）

已知函數(shù)f（x）=x2++alnx（x>0），f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，證明:

（Ⅰ）當(dāng)a≤0時，>f.

2. （2007年高考全國卷Ⅰ第20題）

設(shè)函數(shù)f（x）=ex－e-x．?搖

（Ⅱ）若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍．

3. （2007年安徽卷18題）

設(shè)a≥0，f（x）=x－1－ln2x+2alnx（x>0）.

（Ⅱ）求證:當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x－2alnx+1.

4. （2009年遼寧卷理21題）

已知函數(shù)f（x）=x2－ax+（a－1）lnx，a>1.

（Ⅱ）證明?搖若a<5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有>－1.

5. （2010全國卷Ⅰ第20題）

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx－x+1.

（Ⅱ）證明:（x－1）f（x）≥0.

總結(jié)

從以上的分析中，我們可以看到拉格朗日中值定理的種種好處. 首先，可以化簡繁瑣的計算；其次， 可以省略很多復(fù)雜的區(qū)間單調(diào)性討論和參數(shù)的取值討論的問題，避免思維的局限性；最后，運(yùn)用拉格朗日中值定理的思想可以使思路更為清晰、自然，體現(xiàn)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性. 更為重要的是讓讀者知道解題的來龍去脈，之所以然，領(lǐng)會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是記憶簡單的公式和定理，生搬硬套公式和定理. 學(xué)習(xí)定理既要掌握定理本身的內(nèi)容，更要真正掌握定理的本質(zhì)，內(nèi)化定理的思想方法及其對以后解題思路的靈活性，達(dá)到融會貫通，舉一反三的效果. 拉格朗日中值定理是大學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要定理， 把這些定理與中學(xué)數(shù)學(xué)的知識聯(lián)系起來，這樣不僅可以使我們加深對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵，從而可以居高臨下的處理問題（拉格朗日中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用）.