一道值得探究的對(duì)稱不等式

摘 要：本文主要對(duì)一個(gè)對(duì)稱不等式（已知a，b都為正數(shù)，且滿足a+b=1，則有a進(jìn)行變式探究，并利用均值不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V．

關(guān)鍵詞：探究；對(duì)稱不等式；變式

題目：已知a，b都為正數(shù)，且滿足a+b=1，則有a+b+≥．

分析：初看不等式，大家一定都會(huì)有一種似曾相識(shí)的感覺，因?yàn)椴坏仁阶筮叺膬蓚€(gè)因式都是兩互倒數(shù)之和． 而當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，a+≥2=2，這是中學(xué)數(shù)學(xué)必須掌握的重要不等式． 若用這種思路發(fā)現(xiàn)左邊是大于等于4的，原不等式不能得到證明． 原因何在？我們注意到對(duì)原不等式左邊兩項(xiàng)直接用均值不等式取等號(hào)的條件為a=和b=，即a=b=1． 而條件限制了a+b=1，故原不等式左邊兩項(xiàng)用均值不等式不能同時(shí)取上等號(hào)． 因此，此路不通！我們知道當(dāng)面對(duì)變量少而形式又簡(jiǎn)潔的不等式證明束手無(wú)策時(shí)，可以拿出此類不等式證明的通法——分析法． 分析法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明不等式的基本而又重要的方法． 下面我們用分析法證明此不等式．

證：欲證原不等式，只需證

4（a2+1）（b2+1）≥25ab．

展開，移項(xiàng)得4a2b2+4a2+4b2+4－25ab≥0．

又因?yàn)閍+b=1，即a2+b2=1－2ab，

故只要證4a2b2－33ab+8≥0．

又0

設(shè)f（x）=4x2－33x+80

故原不等式成立．

若將此題改為

變式1：已知a，b都為正數(shù)，且滿足a+b=1，求a+b+的最小值．

分析：此時(shí)顯然若用分析法去求最值已經(jīng)無(wú)能為力了． 這種情況下，學(xué)生就容易錯(cuò)解成其最小值為4．此時(shí)我們只能改變解題思路了，對(duì)于分式我們基本考慮通分變形，解答如下：

解：通分有a+b+=．

又因?yàn)閍+b=1，即a2+b2=1－2ab，故原式==ab+－2．

又0

而函數(shù)f（x）=x+（x>0）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增．

顯然原式當(dāng)ab=時(shí)取得最小值，易求得最小值為．

變式2：已知a，b，c都為正數(shù)，且滿足a+b+c=1，求a+b+c+的最小值．

分析：此時(shí)，顯然用分析法和轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值法已經(jīng)顯得非常復(fù)雜了，那么我們能否有新的證明方法呢？我們知道變式1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取上最小值，可以猜測(cè)變式了應(yīng)該是a=b=c=取上最小值． 于是，我們考慮利用拆項(xiàng)法結(jié)合均值不等式取等號(hào)的條件進(jìn)行證明．

解：由于a，b，c都為正數(shù)，故對(duì)該式第一項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)后運(yùn)用均值不等式可得，a+==≥==，

當(dāng)且僅當(dāng)a2=即a=時(shí)取上等號(hào)；

同理可得

b+≥，當(dāng)且僅當(dāng)b2=即b=時(shí)取上等號(hào)；

c+=，當(dāng)且僅當(dāng)c2=即c=時(shí)取上等號(hào)．

又因?yàn)閍bc≤3=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立．

將以上三個(gè)不等式相乘可得

a+b+c+≥??=≥≥1000×3-3=，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)以上所有不等式等號(hào)成立．

故所求式子的最小值為．

類似變式2的求解可以推廣得到如下：

定理：已知a1，a2，…，an都為正數(shù)，且滿足a1+a2+…+an=1，則有a1+?a2+…an+≥n+n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=等號(hào)成立．

證：原不等式等價(jià)于

…≥n+n．

由于a1，a2，…，an都為正數(shù)，故有

=≥== ，

當(dāng)且僅當(dāng)a=即a1=時(shí)上式等號(hào)成立；

同理可得

≥，當(dāng)且僅當(dāng)a2=時(shí)等號(hào)成立；

≥，當(dāng)且僅當(dāng)a3=時(shí)等號(hào)成立；

……

≥，當(dāng)且僅當(dāng)an=時(shí)等號(hào)成立．

又a1a2…an≤n=n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=時(shí)等號(hào)成立，于是將以上n個(gè)不等式相乘可得

…≥??…?=≥==（n2+1）n（n）-n=n+n．

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=時(shí)，以上所有不等式同時(shí)取等號(hào)，

于是不等式得證．