學會聯想 破解難題

摘 要：在日常教學中，經常出現這樣的現象：課堂上，教師認真地為學生講解課前精心準備的習題，期間不乏師生互動、思維方法點撥以及數學思想的提升，但最后的效果卻不盡如人意：學生一旦遇到陌生或靈活性大的習題往往還是束手無策！究其原因，不得不承認缺乏必要的知識、方法、思想方面的遷移能力是其中一個重要方面． 而有效的聯想是培養遷移能力的一種重要手段． 本文從四個方面總結了筆者在日常教學實踐中所采用的聯想策略，效果良好．

關鍵詞：解題教學；概念；模型；經驗；聯想；有效性

面對難題，冥思苦想了好一陣后，有時忽然會靈感乍現，茅塞頓開． 靈感來自于哪里？靈感來自于聯想，所謂聯想，是指由一事物想到另一事物的心理過程，它是從已經掌握的途徑、原則、方法等方面去尋求接近當前問題解決的途徑、原則和方法，聯想是數學發現和數學解題的一種常用方法． 著名美國數學家波利亞在《怎樣解題》一書中，明確提出聯想是解題計劃的重要一環． 如何讓學生學會聯想是數學解題教學成功的關鍵，本文是筆者在日常教學實踐中采用的若干聯想策略，現提出供大家教學參考！

尋找“題眼”，從概念上聯想．

在平時學習中，概念是最重要的基礎知識，是思維的細胞，教師強調得多，學生印象深刻． 遇到相關問題時，若能引導學生發現題設中某些與概念相同或相關的字眼，進而聯想出蘊涵在概念中的方法，便可迅速打開解題的突破口．

例1 （2011 重慶卷 理20題）

如圖1，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程為x=2．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．

（Ⅱ）設動點P滿足：=+2，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為－，問：是否存在兩個定點F1，F2，使得PF1+PF2為定值． 若存在，求出F1，F2的坐標；若不存在，說明理由．

分析：（第Ⅰ問略）

題設中有關鍵字“兩個定點”、“PF1+PF2為定值”，由此聯想出動點P的軌跡可能是一個橢圓．

解：設P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

由=+2得x=x1+2x2，y=y1+2y2.

圖1

因為M，N都在橢圓x2+2y2=4上，所以x+2y=4，x+2y=4，

故x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=（x+2y）+4（x+2y）+4（x1x2+2y1y2）．

設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設可得

kOM?kON==－，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20，即動點P在橢圓+=1上運動．

設橢圓兩個焦點為F1，F2，則F1（－，0），F2（，0），

由橢圓定義知PF1+PF2為定值，故定點F1，F2存在．

注：本題中若將重點放在尋找定點上，勢必會步入誤區，而聯想橢圓定義，不僅可以找到解題入口，定點也能自然地引出．

觀察結構，從模型上聯想．

高中數學各模塊中存在大量的公式、法則、定理、圖形等，它們有著特殊的結構和形式，是數學中重要的模型． 我們在分析思考問題過程中一旦發現有與這些模型相同或相似的地方，便可通過聯想這些模型以及模型中滲透的結構、形式、特征、方法來嘗試解決，并且常常能“化腐朽為神奇”，使解題柳暗花明．

例2 （2011 安徽卷 理18題）

在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn，再令an=lgTn（n≥1）．

（Ⅰ）求數列｛ａｎ｝通項公式；

（Ⅱ）設bn=tanan?tanan+1，求數列｛bｎ｝的前n項和Sn．

分析?搖 （第（Ⅰ）問題略，an=n+2）

題設中出現tanan?tanan+1結構，容易聯想到三角公式：

tan（α±β）=，再變形得

tanαtanβ=1－以及tanαtanβ=－1．

考慮到本題目的是求和，使用前者達不到目的（分母中的角都不同不便求和），因而可以嘗試后者．

解?搖 由tanαtanβ=－1得b=tan（n+3）tan（n+2）=－1=－1，進而Sn=b1+b2+b3+…+bn=－n．

注：筆者的同事參加了2011年安徽卷閱卷工作，批閱的正是此題，此題學生丟分非常嚴重，筆者認為最主要原因就是解題中沒有進行適當的聯想．

例3 已知四面體ABCD三組對棱分別相等，且AB=a，AC=b，AD=c，求它的體積．

分析 本題中所給條件難以直接與體積發生聯系，因而需要轉換視角解決，由三組對棱分別相等，容易聯想到長方體模型（長方體中前后、左右、上下面對角錢分別相等）．

解?搖 如圖2，構造長方體模型

圖2

設長方體長、寬、高為x，y，z，

則有x2+y2=b2，y2+z2=c2，z2+x2=a2，

解得x2=，y2=，z2=， 所以x2y2z2=，

從而VA-BCD=V長方體-4VB-ACE=xyz－4××xy×z=xyz=．

注：中學數學模型很多，除以上之外，還有解幾、向量、代數模型等．

激活模式，從方法上聯想．

模式就是日常數學學習中所習得和積累的各種方法、思想及策略在頭腦中的一種固化，一旦在解題中遇到條件類似或題型類似的問題時，通過聯想，這種固化模式就會被激活，從而啟迪我們用與這種模式類似的方法、思想、策略去解決問題．

例4 ?搖已知函數f（x）=，求f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012）的值．

分析?搖 本題是求一些函數值的和，由于函數值太多，所以逐一計算是不現實的，只能考慮整體求和，這樣容易聯想到課本中整體求和的兩大方法：倒序相加及錯位相減，由于錯位相減只適合形如｛aｎ?bｎ｝（其中｛aｎ｝為等差數列，｛bｎ｝為等比數列）數列求和情形，從而倒序相加就值得一試了．

解?搖 倒序相加的前提是倒序后對應項之和都相等，由此可以猜想

?搖?搖f（－2011）+f（2012）=f（－2010）+f（2011）=…=定值，

又因為－2011+2012=－2010+2011=…=1，

故我們可以從一般情形著手：f（x）+f（1－x）=定值．

事實上， f（x）+f（1－x）=+=+

=+

==.

令S=f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012），

倒過來，S=f（2012）+f（2011）+…+f（1）+…+f（－2011），

相加得：2S=++…++…+（共4024個）

=2012，

所以S=1006．

化難為易，從經驗上聯想．

所謂數學經驗，就是某些知識，某些解題方法以及某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也為我們從反面提供有效的有序組合，因此，在平時教學中讓學生多積累多體會解題經驗，能為陌生或困難問題的解決提供經驗支持．

例5 求證：－+－…+（－1）n-1?=1+++…+（n∈N*）．

分析?搖 此題是筆者給所在學校數學興趣班學生提供的一道訓練題，主要目的是訓練數學歸納法中從n=k到n=k+1的遞推能力，結果全班學生竟無人證出，其實，從n=k情形如何過渡到n=k+1情形完全可從簡單情形n=3到n=4中獲得經驗：

n=3時，等式為－+=1++，

n=4時，左邊=－+－，

=-++-+-．

再往下進行，要想證出，必須讓，，變為分母為4的形式，事實上，

=，=，=.

所以左邊=1+++－+－

=1+++［C-（C-C+C-C+C）］

=1+++［C-（1-1）4］

=1+++

=右邊.

證?搖 ?搖（1）n=1時，等式顯然成立．

（2）假設n=k（k∈N*） 時命題成立，即

－+－…+（－1）k-1=1+++…+.

當n=k+1時，有

－+－…+（－1）k-1+（－1）k

=－+－…+（－1）k-1?+（－1）k?搖?搖?搖?搖?搖

=－+-…+（－1）k-1+-+-…+（-1）k-1+（-1）k?搖

=1+++…++－+－…+（－1）k-1+（－1）k

=1+++…++｛C-［C-C+C-C+…+（-1）kC+（-1）k+1C］｝

=1+++…++［C-（1-1）k+1］

=1+++…++，

故當n=k+1時，等式成立！

由以上（1）（2）知等式對一切n∈N*均成立！

通過以上四個方面聯想策略的使用不難看出，聯想是尋找解題途徑的重要思維方式，聯想幫助我們化陌生題為熟悉題，化復雜題為簡單題，從而提高解題能力． 因此，教師在日常教學過程中一定要善于引導學生進行聯想，只有這樣才能切實提高學生聯想的有效性，真正實現知識的互聯、方法的遷移、思維的發散、經驗的提升，真正提高他們分析問題和解決問題的能力．