寓優化思維于變題教學

數學是思維的體操.優化學生的思維品質，培養學生的思維能力，是數學課堂教學的核心目標. 無論是新授課，還是復習課，都應緊緊圍繞這一核心目標開展實施. 本文就如何在習題的變化教學中完成這一核心目標，寓優化思維于變題教學，淺談筆者的一點教學體會，與大家共勉.

培養學生思維的敏捷性?搖

思維的敏捷性表現在善于聯想，靈活轉換，在解題過程中能快速調整自己的思維，從而作出正確的判斷與推理. 在講授《排列﹒組合》時，有這樣一道常見習題：

題1 4個不同的小球放入4個不同的盒子中，恰有一個空盒的放法有____種.

在學生給出正確答案C?A=144之后，筆者有意將此題作了如下變化：

變題1 4個不同的小球放入4個相同的盒子中，恰有一個空盒的放法有____種；

變題2 4個相同的小球放入4個不同的盒子中，恰有一個空盒的放法有____種；

變題3 4個相同的小球放入4個相同的盒子中，恰有一個空盒的放法有____種.

這樣，隨著小球與盒子的相同和不同的變化，一下子牢牢地吸引了學生的注意力，迫使學生針對球與盒子的相同與不同去調整自己的解題思維.

學生甲：原題中由于球與盒子都不同，又必須有兩個球在同一個盒子中，故采取了先分組（C），后排列（A）的策略，而變題1由于盒子相同，故誰是空盒都一樣，只需將4個球分成3組即可，屬于平均分組問題. 所以有C=6種放法.

甲的發言，條理清晰，贏得了同學們的熱烈掌聲.

學生乙：變題2中由于小球相同，故只需要考慮4個盒子中哪個盒子中放2個小球，哪個是空盒子，相當于從四個元素中取兩個的排列，所以有A=12種放法.

“好的，以上兩位同學回答得非常正確，那么變題3呢？”

“一種放法”，大家爭先恐后.

“為什么？”

學生丙：由于球與盒子都相同，所以誰是空盒，誰放兩個球沒有任何區別，故投放方式唯一.

無疑，變題吸引了學生的課堂注意力，調動了學生的學習積極性，培養了學生的思維能力. 注重變題教學，確有一變多得之功效.

培養學生思維的廣闊性

思維的廣闊性體現在能全面完整地、多角度地思考問題. 有這樣一道習題：

題2 已知ABCD是復平面上的平行四邊形，頂點A，B，C分別對應復數－3－2i，－4+5i，2+i，則點D對應的復數是____，向量對應的復數是_____.

當學生完成此題后，筆者將此題作了如下變化：

變題：已知復平面上一平行四邊形的三個頂點A，B，C分別對應復數－3－2i，－4+5i，2+i，則第四個頂點D對應的復數是_____，向量對應的復數是_____.

顯然，原題與變題之間的差異在于前者給出了平行四邊形的四個頂點的排列順序，后者則沒有規定其排列順序.這樣，對于變題，就需要學生全面地、多角度的去思考，分別以AB，AC，BC為對角線處理問題，從而得到多個結果. 通過這樣的比較學習，對提高學生的思維能力無疑是大有裨益的.

培養學生思維的深刻性

思維的深刻性強調抓住事物間的內在聯系和本質特征，從本質上看問題.為了促進學生思維的深刻性的培養，教學中，筆者常將同類習題放在一起作比較，讓學生在歸納、類比中深化認識，提升能力. 如：

題3 對于滿足0≤x≤4的所有實數x，使不等式x2+px>4x+p－3恒成立的p的取值范圍是_______.

題4 對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x2+px>4x+p－3恒成立的x的取值范圍是_______.

對于題3，一般學生都能處理，要使f（x）=x2+（p－4）x+3－p>0恒成立，只需f（x）的最小值大于零. 這是因為學生對以x為自變量的函數f（x）都有比較深刻的認識. 而對于題4，絕大多數學生卻不會處理，究其原因，學生還局限在以x為自變量的函數中. 若將這兩題放在一起，讓學生進行比較、辨析，則不難發現：題3處理的實質，是以x為自變量（p為參數）整理成關于x的二次函數f（x），按照f（x）>0恒成立的模式求解. 那么題4能不能整理成以p為自變量（x為參數）的一次函數f（p），再由f（p）>0恒成立求解呢？通過這樣一個辨析、比較和歸納的過程，學生對函數的理解就有了更加深刻的認識，從而題4可迎刃而解. 又如：

題5 如果函數f（x）=x2+2（a－1）x+2在區間（-∞，4］上單調遞減，則實數a的取值范圍是_______.

題6?搖 如果函數f（x）=x2+2（a－1）x+2的單調減區間為（-∞，4］，則實數a的值為_______.

這兩題也是教學中常見的習題. 往往大多數學生會誤將題6當作題5去做. 但若將這兩題放在一起，讓學生去辨析“函數在區間D上單調”和“函數的單調區間是D”的區別，則更有利于培養學生思維的深刻性，變題教學的重要性在此不言而喻.

培養學生思維的批判性與創造性

思維的批判性表現在敢于懷疑，積極探索；思維的創造性是指有創見性的思維活動. 課堂教學中，筆者曾遇到過這樣一例：

題7?搖 滿足方程=x+y－3的點P（x，y）的軌跡為（ ）

A. 橢圓 B. 雙曲線

C. 拋物線?搖?搖 D. 直線

首先，在剖析了部分學生把已知等式兩邊平方處理將走入困境之后，筆者提示學生聯系圓錐曲線的定義，對已知等式作恒等變形：原等式可變為=，它表示動點P（x，y）到定點F（1，1）的距離與到定直線l：x+y－3=0的距離的比為，因為>1，由雙曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線. 故選B.

在確定上述解答的正確性之后，筆者接著提出，若將題中的條件變為：=x+y－2，結果又如何呢？學生們起先不以為然，還是選B的呼聲一浪高過一浪. 筆者不語，只在黑板上畫了一個“？”，這時大家面面相覷，會有變化嗎？學生們滿臉疑惑. 于是，筆者要求學生們仔細比較這兩題之間的差異.

“直線l發生了變化，由直線x+y－3=0變成了直線x+y－2=0.” 一個學生答到.

教師：l的變化又會引起什么變化呢？

“F與l的相對位置發生了變化.原題中點F不在直線l上，改變條件后，點F在直線l上了”. 另一個學生搶答到.

教師：好的，這位同學很細心，這點變化也讓他發現了. 筆者對這位學生的發言給予了表揚. “那么， F與l的位置的變化，會引起點的軌跡的變化嗎？”筆者的問題引起了學生思維的爆炸.

堂上一陣沉默……

“圓錐曲線的焦點不在其準線上，因此在圓錐曲線的統一定義中，點F應不在直線l上.但是，變題后，點F（1，1）在直線l：x+y－2=0上，不再滿足定義中的條件，所以變題的軌跡不再是雙曲線.” 又一個學生回答到，課堂里響起了熱烈的掌聲.

“好的，既然同學們明白了這個道理，那就請大家探討：若動點P到定點F的距離PF與它到定直線l的距離d滿足PF=ed（F∈l），當e>1時，P點的軌跡為_________；當e=1時，P點的軌跡為_________；當0

學生們興趣盎然，爭先恐后，分組探討，歸納出如下結論：

結論：若動點P到定點F的距離PF與它到定直線l的距離d滿足PF=ed（F∈l），當e>1時，P點的軌跡是過點F且與l的夾角為arcsin（或夾角α滿足sinα=）的兩條直線，如圖1；當e=1時，P點的軌跡是過F點且與l垂直的一條直線，如圖2；當0

一份辛苦一份收獲，學生們為自己的探究成果感到無比高興，學習更加充滿了信心. 興趣是最好的老師，有什么比調動學生的學習激情，提升學生的學習能力更重要、更開心呢？數學教師的辛苦不正是為了達到這樣一個目標嗎？注重比較教學，寓優化思維于變題教學，你就會教有所樂.