探索 發(fā)現(xiàn) 提升

摘 要：習(xí)題是教材的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體，對(duì)教材例題、習(xí)題進(jìn)行探索和挖掘，既能疏通知識(shí)之間的聯(lián)系，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性和深刻性有一定的促進(jìn)作用．

關(guān)鍵詞：課本題；內(nèi)切圓；半徑；勾股定理

課本例題、習(xí)題是教學(xué)資源的重要組成部分，對(duì)典型例題、習(xí)題進(jìn)行適度的挖掘、加工、再生，實(shí)現(xiàn)資源功能的最大化，是教師的基本功，也是有效教學(xué)的重要途徑之一． 正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)：沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成的，總還會(huì)有些事情可以做，在經(jīng)過(guò)充分研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，而且無(wú)論如何，我們總可以深化對(duì)答案的理解．

題目：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，它的內(nèi)切圓O分別與邊AB，BC，CA相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求⊙O的內(nèi)切圓半徑r． （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)（上冊(cè)）第五章習(xí)題）

圖1

這是安排在“切線(xiàn)長(zhǎng)定理”后的一道配套練習(xí)，題目出示幾分鐘后，生甲給出了一種解法．

解：AB==10，連結(jié)OE，OF，易知四邊形OECF為正方形，所以CE=CF=r，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得BD=BE=6－r，AD=AF=8－r，所以6－r+8－r=AB=10，解得r=2．

問(wèn)題已經(jīng)解決． 如果教師就此打住，那學(xué)生就失去了一次難得的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之旅．

教師：如果直角三角形的三邊為a，b，c（c為斜邊），那么它的內(nèi)切圓半徑等于什么？

學(xué)生乙：根據(jù)生甲的解法可得a－r+b－r=c，所以它的內(nèi)切圓半徑r=（a+b－c）．

結(jié)論1：在△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓半徑r=（a+b－c）．

教師：由切線(xiàn)性質(zhì)知過(guò)切點(diǎn)的三條半徑分別與三邊垂直，要利用三邊長(zhǎng)來(lái)求內(nèi)切圓半徑，你還能想到其他解法嗎？

一石激起千層浪，課堂頓時(shí)被激活起來(lái)，學(xué)生們進(jìn)入了緊張的思考，過(guò)幾分鐘后，生丙給出了第2種解法．

圖2

解：AB==10，連結(jié)OE，OF，OD，AO，BO，CO，因?yàn)镾△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，所以×10r+×6r+×8r=×6×8，解得r=2．

教師：你能從這種解法歸納出一般結(jié)論嗎？

學(xué)生?。焊鶕?jù)生丙的解法可得ar+br+cr=ab，所以它的內(nèi)切圓半徑r=．

結(jié)論2：在△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓半徑r=．

教師：上述兩種解法得到兩個(gè)結(jié)果，對(duì)比這兩個(gè)結(jié)果，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生戊：可得（a+b－c）=，即（a+b－c）（a+b+c）=2ab，也即（a+b）2－c2=2ab，所以a2+b2=c2．

教師：這正是勾股定理．可見(jiàn)在用不同解法求直角三角形的內(nèi)切圓半徑的過(guò)程中，我們得出了勾股定理的一種證法． 數(shù)學(xué)真的很神奇，只要我們用心去發(fā)現(xiàn)，一些看似無(wú)關(guān)的知識(shí)實(shí)際上是相通的，希望同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中善于思考，不斷有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新．

教學(xué)啟示：數(shù)學(xué)課本里部分例題和習(xí)題，在解題思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過(guò)程中具有示范性和啟發(fā)性，在編制考題時(shí)具有遷移性和再生性． 在日常教學(xué)中，教師要做有心人，選擇一些典型問(wèn)題，有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生探究不同解法，或?qū)⒔Y(jié)論推廣，或?qū)?wèn)題拓展延伸……，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，堅(jiān)持不懈，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力定會(huì)潛移默化地得到提升．