教師用書一道習題解答的商榷

摘 要：就人民教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書數學必修2》中《3.3.1兩直線交點坐標》一個探究題在教師用書中的解答進行討論，并提出相關的教學建議．

關鍵詞：直線；方程；交點

人民教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書數學必修2》中《3.3.1兩直線交點坐標》一節中有如下一個探究：當λ變化時，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？圖形有何特點？在相應的習題3.3中也有如下習題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0相交，證明方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（*）表示過l1與l2交點的直線．

《教師用書》（以下簡稱《用書》）中關于這道習題的解答是分兩步進行的：第一步，證明兩直線交點在（*）式所表示的曲線上；第二步，證明（*）表示的曲線是一條直線．

對于第一步，《用書》中設出兩直線交點為P，證得P滿足（*）式，就得到“點P在方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0表示的直線上”這一結論． 事實上，此時我們還沒有證明（*）式表示的是一條直線！而這正是第二步要做的事情． 所以，筆者建議將“直線”二字改為“曲線”，或者將兩個證明步驟的位置調換．

對于第二步，在第一版的《用書》中，將（*）式整理成（A1+λA2）x+（B1+λB2）y+（C1+λC2）=0，就判定“這是關于x，y的二元一次方程”，這顯然是不嚴謹的． 幸而在第二版中已經做了修正，增加了“A1+λA2，B1+λB2不同時為零（因為l1與l2相交）”． 修正之后，邏輯上似乎是清楚了，但是學生能否理解A1+λA2、B1+λB2不同時為零？在這個地方有沒有必要跟學生分析清楚？這引起筆者的思考．

事實上，直線l1與l2相交，則應有A1 B1A2 B2≠0． 若A1+λA2，B1+λB2均為零，則關于λ的方程組A1+λA2=0，B1+λB2=0有實數解，當且僅當A1 A2B1 B2=0． 由此得出矛盾，從而，A1+λA2，B1+λB2不同時為零．

以上證明非常輕巧，然而對于沒有接觸過矩陣的學生，卻只能分類討論． 若A1+λA2=0且B1+λB2=0，則關于λ的方程組A1+λA2=0， ①B1+λB2=0 ②有實數解． 情況一：A2≠0，由①有，λ=－，代入②式，B1－B2==0，即A2B1－A1B2=0，所以l1∥l2． 矛盾！（若A1≠0，則A2B1－A1B2=0?圯－=－?圯l1∥l2；若A1=0，則A2B1－A1B2=0?圯A2B1=0?圯B1=0?圯l1不表示直線）情況二：A2=0，由①有，A1=0． 又由于A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0表示直線，故A1，B1不同時為零，A2，B2不同時為零． 于是，B1，B2均不為零． 所以l1：B1y+C1=0，l2：B2y+C2=0． 此時，直線l1與l2平行，矛盾！

即使《用書》省略了以上煩瑣的推理，但筆者認為對于正在構建成熟邏輯體系的學生來說，這些說理是十分重要的． 教師不能因嫌麻煩或者以為簡單而跳過一些重要的步驟，否則學生一開始可能會困惑，久而久之，也就學著教師“想當然”了，顯然，這是不利于學生長遠的數學學習的．