為什么“不需要證明”

摘 要：《義務教育數學課程標準》中對證明部分的要求，在于強調通過學生經歷觀察、實驗、猜想等數學活動過程的學習方式，發展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能夠有條理、清晰地闡述自己的觀點，建立初步的符號感，發展抽象思維能力． 因而，我們只有以課標要求為出發點，才能通過對中考試題的研究，真正深入領會命題者的價值意圖，從而準確進行中考復習的教學定位，有效提升備考的質量．

關鍵詞：證法研究；內涵分析；反思教學

中考試題歷來備受廣大一線教師的重視，特別是最后的壓軸題，一方面是因為它很大程度上直接影響到中考的成敗，另一方面也是教師對自己考前在重要教學內容上的預判和把握的及時反思與調整，從而為下一屆畢業班的數學教學工作找準方向和基點． 善于研究優秀的中考試題，不僅可以解讀內涵的三維目標信息，更可以深刻領會命題者的價值意圖，從而順利實現與專家們的非接觸性的深層次對話．

本文擬以兩道“不需要證明”的中考壓軸題為例，談談有關試題內涵解讀中的一些思考．

對“不需要證明的證明”的剖析

1. 一個經典的解題模型

正方形BCGF和正方形CDHN，無論其中的一個正方形如何旋轉變化，△BCN≌△GCD，線段BN，DG的關系始終不變，即BN=DG，BN⊥DG．

2. 變換視角下的多解剖析

試題1 【2009年河北卷第24題】在圖2至圖4中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點． 四邊形BCGF和CDHN都是正方形． AE的中點是M．

（1）如圖2，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM= MH，FM⊥MH；

（2）將圖2中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3，求證：△FMH是等腰直角三角形；

（3）將圖3中的CE縮短到圖4的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）

證法1：（從特殊到一般，類比問題（2）的證法，利用中位線定理，證明兩個三角形全等）如圖5，連結MB，MD，如圖，設FM與AC交于點P．

剖析：平移變換

△GCD利用中位線定理，實現△BCN平移至△MDH，?搖?搖?搖平移至△FBM．

所得兩三角形關系與原三角形關系一致．

證法2（借助中點，再次利用中位線定理，證明兩個三角形全等）

如圖6，連結AF，FC，CH，HE，并延長線段AF到P，使PF=AF，延長線段EH到Q，使QH=EH，連結線段PE，AQ．

剖析：位似變換

以點C為位似中心，將△BCN放大2倍得△ACQ，將△GCD放大2倍得△PCE，所得兩三角形關系與原三角形關系一致．

證法3（借助中點，倍長中線，利用直角三角形的性質解決問題）

如圖7，延長HM到Q，使QM=HM，連結AQ，HE，HC，FA，FC．

剖析：旋轉相似變換

以C點為中心，將△BCN順時針旋轉45°，并放大倍，得△FCH．

以F點為中心，將△FBM逆時針旋轉45°，并放大倍，得△FAQ．

由于△BCN與△FBM的關系等價于△BCN與△GCD的關系，因而△FCH與△FAQ也必有同樣的關系存在．

證法4（再一次利用中點，構造相似三角形）

如圖10，連結AF，FC，CH，HE，AH，取線段FH，AH的中點O，P，連結線段OP，PM．

剖析：旋轉相似變換+位似變換

如證法3的剖析，在完成旋轉相似變換之后，再利用取中點法，以點H為中心，將圖6中的△FAQ縮小一半，化為圖10中的△OPM，從而將△FCH與△FAQ之間的關系判斷，轉化為△FCH與△OPM之間的關系判斷問題．

簡評：綜觀以上的各種證法，我們不難看出，解法的實質都是以經典圖形中的不變關系，即△BCN與△GCD之間的關系，來作為演繹的根源． 而各證法的差異性的外在表現，主要是由于各自最終選取的彼此等價的三角形載體的不同所產生的，而如何構造出形式、位置各異的三角形，需要較深的解題功底．

試題2 【2009年山東德州卷第23題】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連結DF，G為DF中點，連結EG，CG．

（1）求證：EG=CG．

（2）將圖11中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖12所示，取DF中點G，連結EG，CG，此時（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．?搖?搖

（3）將圖11中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖13所示，再連結相應的線段，（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

3. 證法評析

試題整體結構分析

證法剖析：在《一道“不要求證明”的中考題的證明》一文中，作者給出了兩種證明，但只要對本題稍作變化，我們其實不難看出，這道題實質上同試題1完全相同，證法又何止兩種呢？

試題價值分析

按照《課程標準》的要求，這兩道題都從初中畢業水平的考生所應形成的整體學習習慣、學習過程、學習結果來設計考題，注意所考查的數學知識之間的內在聯系，加強了對數學思想方法的考查，

這兩道題的主旨定位于考查學生的推理能力（合情推理與演繹推理），但通過旋轉和放縮的變換，構造出了一個“從特殊到一般”的三種圖形狀態，其中蘊涵了“運動與靜止的對立統一”、“在變化過程中尋找某些量的不變屬性”這一重要的數學基本觀念． 將學生的觀察操作、猜想推斷、演繹論證等數學活動有機地融為一個整體． 這樣做，既使學生獲得了一種科學探究的思維模式，又使得學習水平層次不同的學生在考試中都有發揮的機會和余地，從而通過對不同層次的學生采用不同的評價，體現了尊重學生的數學個體差異，有利于激發學生的思維激情和潛能，增加自信心和成就感，同時也有效地提高了試題的信度與效度．

反思

1. 準確把握新課程標準，是解讀試題內涵價值的首要基礎

《課程標準》指出：推理貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程． 義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式． 推理包括合情推理和演繹推理． 教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；……

如果教師試圖將這兩道不需要證明的問題，演變為以證明教學為重點的問題，想要通過難度訓練，以達到提高學生的數學能力的愿望，那么顯然是不合適的，試想，在簡單呈現紛繁復雜的證法演示之后，由于學生特定的能力水平的限制，除了增加學生對幾何學習的恐懼感之外，很難讓學生獲得對證法本源的深刻認識． 因而加強對《課程標準》的學習與研究，準確把握新課程標準，才能正確解讀試題的內涵價值，才能不斷轉變我們的教學觀念．

2. 踐行“過程教學”的新課程理念，是解讀試題內涵價值的關鍵

“重結論、輕過程”，仍是當前教學中的一個重要誤區． 這種忽視知識形成過程的教學，會導致學生只重視結論本身，甚至死記硬背結論，“只知其然，而不知其所以然”，也就更談不上在考場上靈活運用與遷移轉化了．

因此在教學過程中，一定要從重視知識結論轉向重視知識的形成過程． 要真正改變現有的教學方式，關注學生的學習方式，使教學的過程變成一個學生思維方式不斷發展的過程．

不能通過要求學生機械記憶概念、公式、定理、法則來實現，而是要將這些核心知識的理解與掌握，置于解決具體數學問題的過程中，所以適當的解題訓練是必要的． 但加強推理教學，又不能僅靠大量的不加選擇的解題來完成，更不能異化為題海戰術．

要認識到，推理能力的提升不是一蹴而就的，需要一個循序漸進的過程． 在日常教學中，學生對數學知識的初次認知尤為重要，因此一定要留給學生充分的探究發現、歸納概括的時間，扎扎實實地掌握好每一個數學概念． 任何匆忙追求教學進度、最后依靠機械性的強化訓練的做法，都不可能取得真正良好的效果．