優化解題思路提升高考復習效率

摘 要：教師在高考數學復習時有意識地選擇或設計那些學生力所能及的典型問題進行一題多解、一題多變，會使學生對知識點進行有效聯系和深刻理解，對開拓學生智力，培養和訓練學生的發散性思維能力大有好處． 使學生的思維有多向選擇，從而提高高考復習效率、優化解題思路和形成創新意識．

關鍵詞：高考復習；一題多解；優化思路；提高效率

高考復習課應進行一題多解、多題一解和把問題求解最優化、簡易化．追求問題解決的本質化方法，以不變應萬變． 以智慧戰勝經驗，以想法生成方法． 可以使學生跳出題海，提升高考復習效率． 目前，針對高考試卷的新變化，教師在高考數學復習時有意識地選擇設計那些學生力所能及的典型問題進行一題多解，這樣會使學生對知識點進行有效聯系和深刻理解；同時可以開拓學生智力，培養和訓練其發散性思維能力． 使學生的思維多向選擇，提高學習效率、優化解題思路和形成創新意識，從而逐步發展學生創造性思維；對形成勇于探索等非智力因素也大有裨益． 下面以求函數極值為例加以說明．

例 求函數y=的最大值和最小值．

利用三角函數有界性

解法1：由y=得：sinx+ycosx=2y，所以sin（x+φ）=2y，即sin（x+φ）=≤1，所以y2≤，所以－≤y≤．

利用二次函數最值

解法2：令2－cosx=t，則sin2x=－t2+4t－3（1≤t≤3），所以y2==－1+－= －3－2+≤≤1，從而有y2≤，所以－≤y≤．

評析：利用三角函數有界性和二次函數是求最值常用的途徑． 人民教育出版社出版普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4第70頁第14題就是利用三角函數有界性來解，可見本例是課本習題的延續與變式． 因此高考復習時要重視課本，要對課本內容進行適當的推廣． 歷年高考都強調以課本為依據，課本中的結論、定理與性質，都是學習數學非常重要的工具． 近幾年的高考題目中，常常對課本定義、定理變換模式加以判斷；對課本的例題、習題變換條件加以求解與證明． 因此，高考復習一定要高度重視教材，針對教學大綱所要求的內容和方法，把主要精力放在教材的落實上，復習時一定要回歸課本，吃透課本上的例題、習題，才能全面系統地掌握基礎知識和基本方法，構建數學的知識網絡，以不變應萬變．

利用直線斜率的幾何意義（數形結合）

解法3：因y==，

所以y可理解為點A（2，0）與點（cosx，－sinx）兩點連線的斜率，而動點（cosx，－sinx）的軌跡是單位圓． 由圖形知點P，，P′，－，AP，AP′分別取斜率的最大值和最小值． 故－≤y≤．

利用平面幾何知識

解法4：作單位⊙O，取P為圓外一點使OP=2，在⊙O上任取一點A，連結AO，AP，過A作AB⊥OP于B，設∠AOP=x（假設x為正，x為負時也有類似結論）．

在Rt△AOB中，AB=sinx，OB=cosx，則BP=2-cosx． 在Rt△APB中，tan∠P==，由平面幾何知識得：當PA是⊙O的切線時∠P最大，即tan∠P最大． 此時∠OAP=90°，則（tan∠P）max＝．

而y==tan∠P，所以y≤，故－≤y≤．

評析：常用的數學方法與思想有：函數與方程思想、化歸思想、分類討論思想、數形結合思想以及配方法、換元法、待定系數法、反證法等等． 而數形結合又是其中比較重要的數學思想和方法．這些基本思想和方法滲透在教材的各個章節之中，在平時的教學中，教師和學生把主要精力集中于數學新課的教學之中，缺乏對基本數學思想和方法的歸納與總結． 因此，教師在復習基礎知識的同時，要有意識地講解與滲透基本數學思想和方法，幫助學生掌握科學的方法，從而達到傳授知識、培養能力的目的．

利用復數輻角

解法5：令z=2－cosx+isinx，則y是z的輻角的正切值． 而z是圓（x－2）2+y2=1上的動點，所以z的輻角的正切值的取值范圍是－，，即－≤y≤．

利用向量性質

分析：構造向量利用a?b≤a?b．

解法6：由y=得：ycosx＋sinx=2y． 設a=（cosx，sinx），b=（y，1）

由于a?b≤a?b，因此2y≤×，所以4y2≤y2+1，

故－≤y≤．

利用導數

解法7：y′==． 令y′=0，則cosx=． 當cosx≤時，y′<0，原函數遞減；當cosx≥時，y′>0，原函數遞增． 所以當cosx=時，y達到極值． 因為cosx=，所以sinx= ±，則ymax=，ymin=－．

故－≤y≤．

評析：利用復數輻角、向量性質和導數來解最值問題可謂獨具匠心． 《浙江省新課程數學教學指導意見》中指出：深化能力立意，突出數學內涵． 高考數學試題遵循考試大綱，全面深入考查基礎知識、基本技能、基本思想方法，考查內容全面，重點突出． 深化能力立意，注重對數學內涵的理解，多角度、多層次地考查數學理性思維及數學素養和潛能，體現了考基礎、考能力、考素質、考潛能的目標追求． 用復數、向量、導數解題就是起到抓綱悟本和突出數學內涵與本質的目的．

利用二次方程根的判別式

解法8：函數兩邊平方得：y2=． 令y2=t≥0，整理得：（t+1）cos2x－4tcosx+（4t－1）=0． 因為t+1≠0，且關于cosx的二次方程有解，所以Δ=16t2－4（t+1）（4t－1）≥0，解得t≤. 易驗證，當0≤t≤時，cosx=∈［-1，1］總有解.

于是0≤y2≤，故－≤y≤．

上述八種解法涉及的知識點有三角函數、直線斜率、向量、導數等，特別是用平面幾何知識解題可謂是另辟蹊徑． “一題連數點，多解顯本質”，這不是我們數學教師和新課程標準所要追求的嗎？數學高考復習千頭萬緒，只要我們能遵循教學規律，注重學生潛能，立足知識基礎，突出培養能力，有意識地選擇那些學生力所能及的典型問題進行一題多解訓練就能提高復習效率，防止好高騖遠，建造空中樓閣，押題猜題的僥幸思想． 只有腳踏實地，循序漸進，一步一個腳印，才能穩步邁向高考成功．