挖掘技術表征優勢,感受遞推迭代思想

摘 要：圖形計算器于數列有多元表征優勢，突破數列教學的難點可以在手持技術的支撐下：列表比較中認識遞推，圖象直觀中感受疊加，數形結合中研究性質；以讓學生在親身操作中感受數列的遞推迭代思想；教學實踐帶來啟示和思考：圖形計算器于數列有多元表征優勢，能為學生“做數學”提供有效載體，讓手持技術走近學生需要教師不斷挖掘課題資源．

關鍵詞：圖形計算器；多元表征；數列教學；遞推迭代

作為一種反映自然規律的基本數學模型，數列在現實生活中有著廣泛的應用；因此課程標準要求教學時需注重背景和應用，關注學生的參與和發現，注重將數列作為一種特殊的函數來學習． 但數列教學的現狀卻令人不安，往往仍是將已構造好的現成的數學知識（如等差、等比數列的通項公式、求和公式等）端給學生，讓他們“理解掌握、靈活運用”． 究其原因：學生的認知背景以連續數集為主，對數列這樣一種離散的有次序變化的過程，對數列特有的遞推迭代思想，心理上很難“同化”；而缺乏理想的教學手段也是一原因，因為數列的離散性，常用的技術手段很難呈現．筆者在教學實踐中發現，圖形計算器對數列有多元表征（列舉、圖像、符號等）優勢，引進圖形計算器于數列教學，可以讓學生在親身操作中感受數列的遞推迭代思想，在自身的“再創造”而自然“生長”出新的有效而能發展的知識． 本文以Casio fx-9750GⅡ為工具平臺，在功能介紹、方法操作中體現圖形計算器于數列的多重表征優勢．

應用圖形計算器于數列教學的實踐舉例

1． 列表比較中認識遞推

遞推是數列的特有語言，強調的是相鄰兩項或三項之間的關系，傳統的數列教學對于數列的遞推公式及“遞歸”思想關注較少，往往只是給出一些有遞歸特性的語言描述（如：一個非零數列從第二項起，每一項與它前面一項的比等于同一個常數）． 下文以問題“已知數列｛an｝滿足a1=2，an+1=（n∈N*），求a2011”為例，體現圖形計算器在幫助學生熟悉“遞歸”思想方面的天然優越性．

方案一：利用功能鍵Ans實現遞推

fx-9750GⅡ有功能鍵“Ans”，其操作方式是按Ln，作用在于記憶上次的運算結果并帶入到下一次運算，我們可以用此功能鍵實現簡單的遞推．具體操作步驟（斜體字是對按鍵步驟的說明）如下：

①1（選擇進入運算矩陣模式）；

②2l（輸入首項）；

③j5Ln-13kMj3Ln-7kl（輸入遞推公式，并執行得數列的第二項）；

④l（以同種遞推公式得第三項）；

⑤l；

⑥l．

效果如圖1所示，可以發現數列｛an｝以3為周期呈周期性變化，這樣可知a2011=a1=2．

RUN?MAT運算矩陣模式只能進行簡單遞推運算，復雜些的遞推運算則需在RECUR數列遞歸模式下進行操作．

方案二：RECUR模式下實現遞推

進入RECUR數列遞歸模式后，主菜單如圖2所示，其中功能鍵TYPE表示遞推的類型選擇，SET表示遞推數列的開始項和結束項的設置，TABLE則是將遞推數列按項數n和生成表格；按w鍵進入“Select Type”菜單（如圖3），可以發現fx-9750GⅡ有非遞推數列（即通項公式）、兩項遞推和多項遞推數列三種類型（本例選擇w）；主菜單中按y鍵進入遞推數列初終值設置界面，按圖4所示進行設置． 具體的操作步驟如下：

①6（選擇進入RECUR數列遞歸模式）；

②ew（選擇遞推公式樣式為兩項遞推）；

③j5w-13kMj3w-7kl（輸入遞推公式）；

④y2008l2012lw2l（設置數列的首項和表格顯示項）；

⑤du（生成表格）．

效果如圖5，可以發現a2011=2．

利用圖形計算器的表格功能為遞推數列提供了很好的表征形式，學生在親身操作中可以直觀地感受遞推思想． 而面對“玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天． 壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環”這樣的遞推問題可以讓學生直觀感受．

2. 圖象直觀中感受疊加

對于學生而言，數列的前n項和是另一理解難點，因為其中體現疊加思想不太容易被理解和接受，需要借助圖形計算器提供直觀感知的載體，下文以問題“數列｛an｝中，an=-3n+25，Sn為數列｛an｝的前n項和，求Sn的最大值”為例．

方案一：利用“∑ Display”選項實現求和

操作步驟如下：

①按Lp鍵進行系統設置，在彈出窗口中按NB鍵找到“∑ Display”選項，按q鍵打開選項（如圖6）．

②主菜單中選擇遞推類型為q，輸入數列的通項公式后按u進入TABLE窗口（如圖7），可以發現表格中多了∑a一欄．

③按u后再按u作出數列的圖象（如圖8），可以按Lq實現指針跟蹤顯示，如果要出現相應數值，則還需要進行系統設置，其方式是按Lp鍵進行系統設置，在彈出窗口中按NB鍵找到“Coord”選項，按q開啟指針位置處的坐標顯示．

上述操作過程固然可以幫助學生正確理解Sn的最大值及取最大值時n的相應值，但數列的項an與和Sn的對應關系卻很難呈現．

方案二：圖象比較中認識求和

操作步驟如下：

①輸入圖9所示兩數列的通項公式，其中bn=－n2+n（實為數列｛an｝的前n項和）；

②按u選擇TABLE功能得到圖10所示的表格，通過表格可以對比發現bn最大當且僅當an為最小的正數時；

③按u選擇G-PLT功能得到圖11所示兩數列的圖象，按Lq實現指針跟蹤顯示，按NB鍵可以即時顯示an，bn中對應點．

我們也可輸入圖12所示的遞推公式來替代步驟①中的操作，其中an+1=an-3，bn+1=bn+an-3，相應數列的初值設為a0=25，b0=0，可以一樣得出圖11所得的結論．

3. 數形結合中研究性質

數列是函數的離散化，因此需要與函數類比，研究數列的單調性、最大值與最小值、周期性等，但需高度重視其中可能產生的負遷移，因數列的特殊離散性，需要創設情境讓學生有足夠的體驗和活動．

如對于問題“探討數列an=3n+1×n的單調性，并結合單調性求｛an｝中的最大項”，我們固然可以做相應的代數推演an+1－an=3n+4×n+1－3n+1×n=n×=n×，從而得出結論：n≤5時｛an｝遞增，n≥5時｛an｝遞減． 但對于為什么用后一項減前一項來說明數列的單調性，結論為什么就說明a5為最大項卻不甚明晰；如果讓他們有機會看到圖13所示的數列圖象，相信必然會“不著一字，盡得風流”．

又對于“在平面直角坐標系中，直線y=-2x+5上有一系列點：P0（1，3），P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，已知數列是首項為，公差為1的等差數列，是否存在一個半徑最小的圓C，使得對一切n∈N*，點Pn（xn，yn）均在此圓的內部（包括圓周）？若存在，求出此圓的方程；若不存在，請說明理由”這樣的復雜問題，不難得出xn=1+，yn=3－，但問題在于點Pn（xn，yn）的分布規律學生難以想象從而很難把握解題方向，最終只能望題興嘆，但如果借助fx-9750GⅡ提供的繪制相圖功能，自然可以“輕舟已過萬重山”． 具體操作步驟如下：

①輸入兩數列通項公式，并生成表格；

②按e鍵選擇PHAS功能得到圖14所示Pn（xn，yn）的散點圖，可以發現當n→∞時，Pn（xn，yn）從P1（x1，y1）向P0（1，3）聚合，也就是說存在一以P0P1為直徑的圓將所有點Pn（xn，yn）均包含在內． fx-9750GⅡ還可以繪制WEB圖形驗證數列的收斂或發散．

圖形計算器在數列教學中的應用啟示

1. 圖形計算器于數列有多元表征優勢

如前所述，圖形計算器能為學生提供“多元聯系表征”的學習環境，幫助學生直觀感受遞推和疊加思想，在符號語言與表格、圖象（如圖13、14）間形成一有效的理解通道，從而對我們真實理解數學產生著重要影響． 事實上從數學學習心理的角度看，不同的數學思維形式、它們之間的轉換及表達方式是數學學習的核心，用多種表達形式表示數學對象，從而透過現象把握數學本質，已然成為數學課程改革中需要關注的重點話題，因此發揮圖形計算器的功能，應是數列教學改革的一個重要方向，因為“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見、摸得著”．

2． 圖形計算器為學生“做數學”提供有效載體

與其他教學軟件相區別的是，圖形計算器與數學整合可以不囿于教師演示的局限，能真正交到學生手中． 事實上通過以上案例我們可以發現，無論什么數列我們只要輸入相應的遞推公式或通項公式，便可以在手持技術的支持下，自主地在“問題空間”里進行探索和做“數學實驗”，在此過程中學生以研究者的身份進行學習，由“聽數學”轉為“做數學”，由過去被動接受轉為主動參與，由以前做書本中的習題變為自己設計問題，由被動地學習變為主動地發現探索式學習． 筆者認為，發揮圖形計算器的價值和作用，可以讓數學的學習與研究在技術的支撐下插上想象的翅膀，因為圖形計算器無疑是真正能交到學生手中、易于學生進行數學“再創造”的信息技術工具，因為教育技術只有交到學生手中才能發揮它的最大作用．

3. 圖形計算器走近學生需要教師挖掘課題資源

將圖形計算器交到學生手中，使他們有機會真實感受“數學是自然的，數學是清楚的，數學是水到渠成的”，固然需要我們研究技術本身，挖掘技術潛力，需要重視圖形技術器與其他技術的優勢比較，適時、適度地選用適當類型的信息技術，使學生“看他們以往只能‘想象’的數學，‘做’他們以往不能做的數學”；更為重要的是需要教師下力氣提煉教學內容，化學術形態為教育形態，創設利于學生“再創造”的實驗情境，正如弗萊登塔爾所認為的那樣，“數學教育是一個活動過程，在整個活動過程中學生應該處于一個積極、創造的狀態． 學生首先要參與這個活動，感覺到創造的需要，他才有可能進行再創造，而教師的任務就是為學生的發展、創造提供自由廣闊的天地，就在于引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養學生的創造力”．