注重課堂問題設(shè)計(jì) 優(yōu)化學(xué)生思維能力

摘 要：心理學(xué)認(rèn)為：思維總是和解決問題聯(lián)系在一起的，人們?yōu)榻鉀Q問題而思維，思維總是指向解決問題． 教師在課堂上設(shè)計(jì)的問題，不僅能鞏固與檢測教學(xué)效果，而且能促進(jìn)學(xué)生把知識轉(zhuǎn)化為技能，優(yōu)化學(xué)生的思維與能力． 因此，課堂教學(xué)中需要教師精心設(shè)計(jì)問題，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的能力．

關(guān)鍵詞：課堂；問題設(shè)計(jì)；思維；能力

本文是筆者針對培養(yǎng)學(xué)生的不同思維和能力，闡述課堂問題的設(shè)計(jì)策略．

設(shè)計(jì)直觀性問題，培養(yǎng)直覺思維

直覺思維是不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式，它是思維中最活躍、最積極、最有創(chuàng)造性的成分． 著名數(shù)學(xué)家吳文俊說：“只有推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺是不會(huì)有創(chuàng)造性的．” 培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力的方法靈活多樣，其中最有效的辦法是讓學(xué)生主動(dòng)地去觀察，觀察是誘發(fā)直覺思維的最主要形式．因此，課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)直觀性問題，提高學(xué)生的觀察能力，以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維．

例1 （1）（2009湖北高考）已知關(guān)于x的不等式＜0的解集是（－∞，－1）∪－，+∞，則a=_______．

（2）（2010銀川模擬）如圖1，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，PA=．

①證明：平面PBE⊥平面PAB；

②求二面角A－BE－P的大小．

分析：（1）本例利用直覺思維，意識到解集中的－1，－是不等式的零根，顯然－是分子ax－1=0的解，可得a值． （2）認(rèn)真觀察，分析題目條件，依靠直覺思維得出∠PBA是二面角A－BE－P的平面角，再加以證明，可使問題目標(biāo)明確，化難為易．

在課堂教學(xué)中，若能設(shè)計(jì)出訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的直觀性問題，可以使學(xué)生解題目標(biāo)更明確，化難為易，迅速解決問題．

設(shè)計(jì)模糊性問題，培養(yǎng)批判性思維

“錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)”，由于基礎(chǔ)知識不扎實(shí)或思維上的偏差，常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤． 對此教師應(yīng)針對學(xué)生常犯的一些隱晦的錯(cuò)誤，設(shè)計(jì)模糊性問題，故意設(shè)計(jì)問題陷阱，讓學(xué)生出現(xiàn)暫時(shí)性的失敗感，主動(dòng)去分析錯(cuò)誤，尋找治“錯(cuò)”良方，在知錯(cuò)中改，改錯(cuò)中防，彌補(bǔ)自己在知識上的缺陷和思維上的缺陷，防止錯(cuò)誤認(rèn)識的再遷移，從而增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性和批判性，提高解決問題的準(zhǔn)確性．

例2 （1）若a，b，c為任意向量，（a?b）?c=a?（b?c）成立嗎？為什么？

（2）比較2+3i和4+3i的大小

（3）等差數(shù)列中a2+a5=a7，對嗎？

又如：求直線方程時(shí)對斜率的討論，等比數(shù)列求和中對公比的討論等都可設(shè)計(jì)出模糊性問題，讓學(xué)生對易錯(cuò)、易忽略的問題引起足夠的重視，糾正錯(cuò)誤認(rèn)識，提高記憶的準(zhǔn)確性．

設(shè)計(jì)相關(guān)性問題，培養(yǎng)思維動(dòng)態(tài)性

聯(lián)想是使人由一個(gè)事物轉(zhuǎn)移到另一個(gè)相關(guān)事物上的一種動(dòng)態(tài)思維． 它能在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種方式或手段，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)問題，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的． 通過聯(lián)想轉(zhuǎn)化，如：數(shù)形轉(zhuǎn)化、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化、代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化等，可使復(fù)雜問題直觀化． 在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)相關(guān)性問題，可使學(xué)生樹立相互聯(lián)系的辯證思想，培養(yǎng)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力和訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維．

例3 （1）（2007安徽高考）如果點(diǎn)P在平面區(qū)域2x－y+2≥0，x－2y+1≤0，x+y－2≤0 上，點(diǎn)Q在曲線x2+（y+2）2=1上，那么PQ的最小值為

（ ）

A． －1B． －1

C． 2－1D． －1

（2）（2007浙江高考）設(shè)m為實(shí)數(shù)，若（x，y）x－2y+5≥0，3－x≥0，mx+y≥0 ?哿｛（x，y）x2+y2≤25）｝，則m的取值范圍是________．

分析：（1）動(dòng)靜轉(zhuǎn)化；（2）數(shù)形轉(zhuǎn)化．

設(shè)計(jì)逆向性問題，培養(yǎng)逆向思維

在課堂教學(xué)中，對問題進(jìn)行逆向變換，即把問題的已知條件和未知條件進(jìn)行變換，或?qū)⒁恍?shù)學(xué)概念、定理、公式等進(jìn)行逆向應(yīng)用． 另外，設(shè)計(jì)運(yùn)用分析法、反證法等逆向考慮問題的方法來解決問題，以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，讓學(xué)生樹立“正難則反”的思維方式．

例4 （1）α=β是tanα=tanβ的（ ）條件？

（2）如何由y=sin2x+的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象？

（3）（2009上海高考）若某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出3人作為上海世博會(huì)的志愿者，則選出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．

分析：（1）利用逆否命題的等價(jià)性；（2）三角函數(shù)圖象變換的方式逆向；（3）正難則反．

逆向性問題對鍛煉學(xué)生逆向思維具有很大的作用，特別是一些關(guān)于數(shù)學(xué)概念的判斷題．

設(shè)計(jì)類比性問題，訓(xùn)練求同歸納思維

問題設(shè)計(jì)的較高目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力． 精心設(shè)計(jì)問題，將問題分類，把具有共同特征的不同問題歸為一類，形成類比性問題，實(shí)行多題一解．這樣，讓學(xué)生集中力量解決同類問題中的本質(zhì)問題，歸納出這類問題的解決方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類旁通的目的，訓(xùn)練學(xué)生求同歸納思維．

例5 （1）（2010山東高考）觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－x）=f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（－x）等于（ ）

A． f（x）B． －f（x）

C． g（x）D． －g（x）

（2）①（2009廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．

②（2007江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A（－4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓+=1上，則=________．

③（2009北京高考）橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1=4，則PF2=_________；∠F1PF2的大小為__________．

分析：（1）直接考查歸納思想；（2）通過以上三例可以讓學(xué)生總結(jié)出解決橢圓焦點(diǎn)三角形問題的基本思路：應(yīng)用橢圓的定義．

通過歸類訓(xùn)練，把知識從一個(gè)問題遷移到另一個(gè)問題上，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的功效．

設(shè)計(jì)發(fā)散性問題，培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是一種沿著不同方向去選取和重組信息，不依常規(guī)尋求變異，從多方面尋求答案的思維方式． 它是較為活躍、具有很大創(chuàng)造性的思維方式，數(shù)學(xué)中的發(fā)散性問題對訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力起著巨大的作用． 發(fā)散性問題設(shè)計(jì)有以下方式．

1. 一題多變

通過變換題目的條件、題型、要求、情境等，由一題發(fā)散成多題，對學(xué)生進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，不僅能夠強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的理解和記憶，而且能夠拓寬、深化解題思路，探索解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)變能力，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的．

例6 已知橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在橢圓上求一點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°．

變式1 已知橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是_________．

變式2 已知橢圓+=1上存在一點(diǎn)P，有∠F1PF2=90°，求m的取值范圍．

變式3 （2009上海高考）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥． 若△PF1F2的面積為9，則b=____________．

通過一題多變的設(shè)計(jì)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性．

2. 一題多解

對同一問題多角度地探索解題思路，形成一題多解，既能使學(xué)生的思維朝著不同方向發(fā)散，靈活地運(yùn)用知識，又能通過比較，選擇最合理、最簡捷的思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、流暢性． 在課堂問題設(shè)計(jì)時(shí)，教師要有意識地偏重可用多種思路完成的典型題，并鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于常規(guī)方法，尋求變異，勇于創(chuàng)新．

例7 求sin220°+cos250°+sin20°?cos50°的值．

分析：本例解法有拆角、立方公式、降次、配方、余弦定理等五種以上的解題思路．

通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用各種知識，沿不同途徑思考問題，通過比較提煉出最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化解題思路的目的．

通過一題多變、一題多解等發(fā)散性問題的設(shè)計(jì)，可以做到對學(xué)生一題多測、一題多得，從而發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力．

設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)探索性思維

隨著素質(zhì)教育的不斷深入，人們開始認(rèn)識到開放性問題在培養(yǎng)和檢測學(xué)生創(chuàng)新能力的重要作用． 這類問題立意新穎，構(gòu)思精巧，自由度大，要求學(xué)生自己去研究，去探索，去發(fā)現(xiàn)，去解決． 美國心理學(xué)家布魯納說：“探索是數(shù)學(xué)的生命線．” 可見，此類問題在數(shù)學(xué)中的地位和作用．

在課堂教學(xué)中，設(shè)計(jì)出探索條件、探索結(jié)論、探索存在等的開放性問題，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，而且還能為學(xué)生提供廣闊的創(chuàng)造性思維空間．

例8 （1）如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD． （只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可）

（2）（2009廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12． 圓Ck：x2+y2+2kx－4y－21=0（k∈R）的圓心為點(diǎn)Ak．

①求橢圓G的方程；②求△AkF1F2的面積；③問是否存在圓Ck包圍橢圓G，請說明理由．

（3）設(shè)f（x）=，g（x）=，對于任意的x，y，請化簡如下兩式：

①f（x）g（y）+g（x）f（y）；②g（x）g（y）+f（x）f（y）． 據(jù)此你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試寫出發(fā)現(xiàn)過程．

分析：（1）屬于結(jié)論不唯一的開放性問題，探索結(jié)論；（2）屬于存在性問題，探究存在性；（3）屬于探究過程（可聯(lián)系三角函數(shù)的和差公式、倍角公式探索之）．

課堂教學(xué)中，開放性問題的出現(xiàn)，可激發(fā)學(xué)生的求知欲望，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力．

設(shè)計(jì)一般性問題，培養(yǎng)特殊化思維

數(shù)學(xué)中，從特殊到一般的思考方式就是先考察問題的某些簡單特殊情形，通過對特殊情形的探究，找出一般規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法． 加強(qiáng)學(xué)生的“特例”意識，就需要在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)一般性問題，讓學(xué)生通過對一般性問題中的個(gè)別特殊情況進(jìn)行觀察和分析，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，從而找到解決問題的途徑． 尋找一般性問題的“極端情形”是解決一般性問題的出發(fā)點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生特殊化思維的關(guān)鍵所在．

例9 （1）（2010陜西高考）某學(xué)校要招開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝［x］（［x］表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為

A． y=B． y=

C． y=D． y=

（2）過拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若FM，F(xiàn)N的長分別是p，q，則+=_________．

（3）設(shè)｛an｝，｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列．

分析：（1）特殊值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以選B． （2）考慮MN的任意性和結(jié)果的唯一性，取拋物線的通徑可使問題迅速準(zhǔn)確獲解． （3）否定一個(gè)命題，只需一個(gè)反例即可，本例只需證c≠c1?c3．

對于一般性問題的設(shè)計(jì)就是訓(xùn)練學(xué)生在一般性問題中提取不失一般性的特殊信息的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的特殊化思維和創(chuàng)新思維．

設(shè)計(jì)應(yīng)用性問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是時(shí)代發(fā)展的需要，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的． 設(shè)計(jì)應(yīng)用問題，可以發(fā)揮數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生受到實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力． 但是設(shè)計(jì)此類問題時(shí)，要注意問題類型、數(shù)量化、形式化的抽象程度，問題的難易程度和學(xué)生的知識內(nèi)容范圍及能力水平．

例10 （2010湖北高考）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層． 某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元． 該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（x）（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=（0≤x≤10）．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元． 設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．

（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

設(shè)計(jì)信息遷移問題，提高知識遷移能力

信息遷移題是指以學(xué)生已有的知識為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境，或定義一個(gè)概念，或規(guī)定一種運(yùn)算，或給出一個(gè)規(guī)劃，通過閱讀相關(guān)信息，根據(jù)題目引入新內(nèi)容進(jìn)行解答的一類新題型． 信息遷移題背景新穎，構(gòu)思巧妙，形式多樣，融綜合性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性于一體，可以較好地考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、閱讀理解能力、數(shù)學(xué)思維能力、知識的遷移能力和思維品質(zhì)．

例11 （1）（2010四川高考）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集． 若對任意x，y∈S，都有x+y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集． 下列命題：

①集合S＝{a＋bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）｝為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足S?哿T?哿C的任意集合T也是封閉集．

其中真命題是________． （寫出所有真命題的序號）

（2）（2011廣東高考）設(shè)f（x），g（x），h（x）是R上的任意實(shí)值函數(shù)． 如下定義兩個(gè)函數(shù)（fg）（x）和（f?g）（x）；對任意x∈R，（fg）（x）=f（g（x））；（f?g）（x）=f（x）?g（x），則下列等式恒成立的是（ ）

A． （（fg）?h）（x）=（（f?h）（g?h））（x）

B． （（f?g）h）（x）=（（fh）?（gh））（x）

C． （（fg）h）（x）=（（fh）（gh））（x）

D． （（f?g）?h）（x）=（（f?h）?（g?h））（x）

（3）（2011年四川理16）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)． 例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)． 下列命題：

①函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；

②若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；

③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個(gè)原象；

④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．

其中的真命題是_________． （寫出所有真命題的編號）

分析：（1）定義新概念；（2）定義新運(yùn)算；（3）定義一類新函數(shù)．

設(shè)計(jì)綜合性問題，培養(yǎng)綜合邏輯思維

在高三總復(fù)習(xí)階段，若能在數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)出考查學(xué)生多種知識和多種技能的綜合性問題，可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識及分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的綜合邏輯思維能力．

例12 （1）（2007北京高考）如圖3，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

①求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

②求面積S的最大值．

（2）（2009山東高考）設(shè)x，y滿足約束條件3x－y－6≤0，x－y+2≥0，x≥0，y≥0， 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則+的最小值為（）．

A． B． C． D． 4

多年的教學(xué)實(shí)踐使我們深深感到：教師在設(shè)計(jì)問題上多花一點(diǎn)時(shí)間，學(xué)生就會(huì)少浪費(fèi)一點(diǎn)時(shí)間；設(shè)計(jì)的問題精一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)學(xué)得活一點(diǎn)，做得好一點(diǎn)． 由此可見：精心設(shè)計(jì)課堂問題，是發(fā)揮學(xué)生主體作用，發(fā)展學(xué)生思維能力，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率的有效途徑．