以“圓(1)”為載體的“三要素”教學分析法案例

摘 要：在反思教師教學分析現狀的基礎上，以“圓（1）”為載體，簡錄用“三要素”理論指導教學分析的過程，旨在增強教師教學分析的意識和學會教學分析的方法．

關鍵詞：教學分析；三要素理論；案例

引 言

“三要素”理論是人民教育出版社中數室章建躍博士在研究高效數學教學過程中發展起來的數學教學分析的理論模型． “三要素”指：理解數學（內容的特點及價值）；理解學生（認知起點及思維障礙）；理解教學（教學的方式與方法）． 他認為“理解數學、理解學生、理解教學是課改的三大基石．” 蘇霍姆林斯基說：“我們要會用一輩子的時間去備課，但真正上具體的一節課，只要花十幾分鐘就夠了．” 因此，教學決策之前進行深入、細致的教學分析（在“三個理解”上狠下工夫）是實現高效教學的前提． 但目前教師仍缺乏教學分析的意識與技能，導致課堂教學“立意”不高和教學指導不當． 本文，以浙教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》九年級上冊“3.1圓”第1課時為載體，簡錄用“三要素”理論指導教學分析的過程，希望對幫助教師增強教學分析的意識和學會教學分析的方法有積極的作用．

“三要素”教學分析法過程簡錄

1. 理解數學——內容及其解析

內容：“圓（1）”涉及“結果形態”的知識主要有：圓、弧、弦的概念及表示，點與圓的位置關系；涉及“過程形態”的知識主要有：圓的產生過程、圓性質的生成過程和圓性質的應用過程中反映出來的思想方法和認知策略等；涉及“關系形態”的知識主要有：在認識圓與其他幾何圖形的關系和圓與現實生活的關系中反映出來的原有知識與經驗． 其知識之間的相互關系可用如下結構框圖表示：

解析：圓是在認識直線型圖形和小學初步認識圓的基礎上提出來的，是對圓的再認識． 但中學認識圓比小學上了一個較大的臺階：研究的對象數學化程度提高了——從以生活中的圓為主過渡到以數學中的圓為主；研究的內容豐富了——從圓的部分特征與圓的部分性質過渡到圓的所有特征與圓的所有性質；研究的思想方法變化了——從宏觀的定性描述圓的特征與性質過渡到微觀的定量描述圓的特征與性質；研究的思維要求提高了——從借助生活中的圓進行直觀感知過渡到借助數學中的圓進行理性思維；研究結果的數學表示方式豐富了——從以文字表示為主過渡到文字表示、圖形表示與符號表示相結合． 圓可以看成是圓形物體的數學抽象（“綜括關系”）；圓也可以看成是線段繞一個端點旋轉一周，另一個端點的軌跡（“類屬關系”）；圓還可以看成是平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的集合（“類屬關系”）；圓又可以看成是正多邊形邊數無限增加時的極限（“綜括關系”）． 圓是最美麗的幾何圖形，在現實生活中有豐富情景；圓不但是平面幾何的研究對象，而且是解析幾何的研究對象．圓有兩個要素（圓心和半徑），它在研究直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系中有重要作用；弧、弦的概念是進一步認識圓的有關性質（對稱性，垂徑定理，圓心角、圓周角、弦、弧之間的關系，弧長和扇形面積公式等）的基礎；圓的性質是進一步認識幾何圖形和研究解析幾何的基礎，并是解決實際問題的工具． 其蘊涵的發現數學規律的基本方法（特殊到一般、具體到抽象、現象到本質）、數學研究的普遍方法（定性到定量）、研究數學的一般方法（分析與綜合、歸納與演繹、聯想與類比）、研究圖形的思想方法（數形結合、運動觀點），對發展學生的智力和豐富學生的數學活動經驗有積極的作用． 其蘊涵的理性思維過程（生活中圓到幾何中圓的抽象過程、畫圓經驗到圓本質特征的概括過程、圓中的不變關系的發現過程、圓及其有關概念的建構過程和用定量方法描述點與圓的位置關系的過程、概念的辨析與“多元聯系”的過程、圓有關理論的應用過程等），對發展學生的能力和個性也有重要作用．

教學重點：描述圓的幾何特征與尋找圓的性質．

2. 理解學生——教學問題診斷

認知起點：“圓（1）”包含圓的產生、圓的特征、圓的定義及符號表示、圓的性質、弧及弦的定義、圓性質的應用． 根據學生的認知規律，圓的產生和圓特征的概括要運用“抽象問題具體化”的策略，需要學生具有數學抽象的經歷和用圓規畫圓的經驗，需要學生具有多角度觀察幾何圖形特征的經驗；發現圓的性質要運用“一般問題特殊化”的策略，需要學生具有發現幾何關系的科學視角；有關概念的建構要運用“特殊到特殊或一般到一般”的類比方法，需要學生具有用文字、符號表示幾何概念的經驗． 由于學生在小學已經積累了有關圓的知識和活動經驗，并且具有認識幾何圖形特征與性質的經驗．因此，大多數學生通過回顧與思考能激活學習新知識所需要的“生長點”．

思維障礙：盡管圓的結構比較簡單，但用文字形式表述圓的本質特征有一定的難度，估計部分學生會遇到困難；盡管學生有發現幾何關系的經歷與經驗，但大多數學生缺乏發現幾何關系的科學視角，估計大部分學生很難發現：圓分平面上的點為三個部分、圓上任意兩點之間的部分長（路程）和連結這兩點之間的線段長（距離）存在不等關系、圓上任意三點不在同一條直線上；盡管學生有定量刻畫幾何關系的經歷與經驗，但定量刻畫點與圓的位置關系包括三種情況及其正反兩個方面比較復雜，估計部分學生會遇到困難．

教學難點：圓幾何特征的描述與圓性質的生成．

3. 理解教學——教學方式與方法分析

（1）這節課教學的創新點之一是導入性學習活動的設計． 從知識結構框圖中不難發現，這節課有三種切入方式：①從正多邊形邊數無限增加演繹得出圓（圓是正多邊形邊數無限增加時的極限）． 這種方式符合認知同化理論（學習的形式類型是上位學習，思維形式是歸納）和新課程理念（從學生已有的知識與經驗出發展開教學），并且借助多媒體直接給出圓花時少，但這種方式不能反映圓的本質特征，并且教師演示學生觀察的方法學生思維含量不高，同時與現實生活缺少溝通． ②從現實生活中的圓形物體抽象得出圓． 這種方式符合認知同化理論（學習的形式類型是上位學習，思維形式是歸納）和幾何發展規律（平面幾何理論是在對物質世界進行了抽象的基礎上借助一些概念、公理和法則經演繹推理而來的，它屬于經驗性與演繹性在實踐基礎上辯證統一的產物），并且暗示了圓具有廣泛的現實情景，有利于學生感受進一步研究圓的必要性，但借助多媒體抽象得出的圓不能反映圓的本質特征，并且教師演示學生觀察的方法學生思維含量也不高（學生沒有實質性經歷數學抽象的過程），容易導致學生“生活中圓”與“數學中圓”相混淆． ③借助圓規畫圓得出圓．這種方式符合認知同化理論（學習的形式類型是下位學習，思維形式是演繹）和幾何發展規律，并且學生經歷了動手操作的過程，也暗示了圓的本質特征，但沒有反映圓現實情景的廣泛存在性，并且畫圖操作花時較多． 通過對三種切入方式的優劣分析，這節課的導入性學習活動可以這樣設計：首先，要求學生借助圓規畫圓（包括同心圓和等圓）；其次，要求學生思考：①確定一個圓需要哪些條件？其作用分別是什么？②用數學的眼光看畫圓的過程，圓形成的實質是什么？第三，要求學生給圓賦予盡可能多的現實情景（尋找圓的生活原型）；第四，組織學生交流對圓的感觸（生活意義、數學意義、育人意義）． 這樣的開放式導入“立意”可能更高． 考慮到經歷“過程”可能會對按時完成教學任務帶來挑戰，這里的畫圖、思考、舉例可以移至課前（讓學生課前進行活動——預習）．

（2）這節課教學的創新點之二是探究性學習活動的設計． 描述圓的本質特征和尋找圓中的不變關系，有思想、有數學味、有能力發展點、有個性和創新精神培養點．如果采用接受性教學或教師問學生答的“小步子推進”的方式，會隱去蘊涵在內容中生動活潑的思維活動，從而失去了學生體會思維方法和思想方法以及發展能力和個性的機會，這不符合數學素質教育的要求和新課程的主張；如果采用開放度比較大的學生自主建構的方式，會導致學生思維受阻或思維偏離前進的方向，從而產生教學停頓狀態或教學花時過多對按時完成教學任務帶來挑戰的問題，這也不符合新課程倡導的教學理念． 這些不當的教法都是假探究，學生沒有經歷深度思維的過程． 其責任是教師引導不到位——問題的指向性太強或太弱． 因此，探究性學習活動可采用教師價值引導與學生自主建構相結合的方式． 如概括圓的本質特征，可以采用教師問題引導下的學生合作研討的方式：盡管圓的位置和大小千變萬化，但圓的形狀具有不變性，你能根據圓的形成過程來描述圓的形狀（圓的本質特征）嗎？請大家合作研討并發表自己的觀點． 這里暗示了根據圓的形成過程來觀察的方法． 又如圓中不變關系的發現，可以采用教師問題引導與必要提示下的學生合作研討的方式：盡管圓的位置和大小千變萬化，但圓中有許多不變關系，你能根據圓的形狀特征，給出盡可能多的圓中的不變關系（元素之間的數量或位置的不變關系）嗎？請大家合作研討并發表自己的觀點（提示：可從宏觀（著眼于圖形）、微觀（著眼于點）或宏觀與微觀相結合多個角度進行觀察）． 如果學生發現幾何關系的能力弱，則提示的指向性可進一步加強：圓分平面上的點為幾個部分？平面上點與圓的位置關系是否存在數量關系？圓上任意兩點之間的部分長（路程）與連結這兩點之間的線段長（距離）有何關系？圓上任意三點有何關系？圓是否具有對稱性？這樣暗示了發現幾何關系的科學視角，能使學生發現更全面（能消除學生只會說課本提供的結論的現象），能使學生經歷實質性思維過程． 探究性學習活動要關注四性：必要性——內容是否有教育價值（是否有探究的必要）；目的性——探究目標是否明確；可操作性——學生是否有思維前進的方向；有效性——能否引發學生積極思維．

（3）這節課教學的創新點之三是理論應用學習活動的設計． 借助生成的數學方法和理論解決具體問題（數學問題或實際問題）是數學教學重要組成部分． 但數學應用要關注：①問題的選擇要緊扣教學目標（避免盲目性和隨意性）． 如本節課的核心目標是掌握點與圓的位置關系（因為圓的對稱性學生已熟悉且后繼學習會進一步深化，“路程”與“距離”的不等關系是引出弧、弦概念的需要提出來的），因此，重點是選擇涉及點與圓位置關系的問題． ②問題的數量要合適（數量過多會導致就題論題）． 如點與圓位置關系的應用一個例子就足夠了，關鍵在于問題解決后的進一步引申與拓展，使學生認識更深刻、體驗更深入． ③寓數學思想方法于問題解決之中，能使學生體會到解題的策略（思想）、方法和技巧． 如本節課的問題可以借用課本中的例題：如圖，在A地正北60 m的Ｂ處有一幢民房，正西80 m的C處有一變電設施，在BC的中點D處是一古建筑． 因施工需要，必須在A處進行一次爆破． 為使民房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內．

教學可以這樣進行：先引導學生經歷：審題、分析、建模、解模、驗證、作答的過程，再引導學生進行反思：①解決問題的策略是什么？用的是什么方法？使用了哪些技巧？②若BC是一條馬路，為保證不影響馬路上的行人和車輛，則爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內？

這樣就消除了就題論題的現象，充分發揮了問題的教育功能，能使學生在問題解決過程中進一步理解點與圓位置關系，也能在“過程”中體會思維方法和思想方法以及發展能力和個性．

基于以上分析，這節課的教學流程、教學方式與方法基本明確了，可用如下結構框圖表示：

這是一個以數學知識發生發展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數學活動過程，比較自然、和諧． 它改變了普遍存在的內容配置散點割裂化的現象——弧、弦概念的引入和點與圓位置關系的引入有“天上掉下林妹妹”的感覺． 在此基礎上，可以進行教學決策：設計教學目標并將其具體化——選擇學習的載體，教學的方式，指導的方法．

隨感隨想

（１）教學分析的意義． 教學分析有利于從數學上把握學習內容的整體性和內在聯系性，從而能明確學習內容的邏輯結構和思想方法結構，能使教學“立意”更高，內在邏輯線索更明顯，目標定位更準確；教學分析有利于明確實現目標所需要的合適載體，從而能更好地開發和利用教學資源并處理教學內容，使組織的教學內容更具有針對性，更能激發學生的學習興趣；教學分析有利于明確內容呈現的各種可行方式，從而能使教學方式經歷“多選一”的過程，并有可能在優勢互補的基礎上作出創新，使教學更符合數學發展規律和學生學習數學的認知規律以及教育的規律；教學分析有利于明確實現目標所需要的學習方法，從而能使學法指導更科學，教學更有效． 教學決策之前的分析是不該被遺忘的教學起點．

（２）教學分析的視角與視點． 從宏觀看，“三要素”教學分析理論給出了相對穩定的分析程式：內容及其解析→教學問題診斷→教學方式與方法分析． 但從微觀看，每個分析視角又有多樣化的描述方式和有詳有略的刻畫特點． 一般地，內容概述是闡述用“望遠鏡”把握教材（內容的整體性和聯系性）的結果，其重點是制作知識結構框圖——以顯性的“結果形態”的知識為載體，揭示隱性的“關系形態”和“過程形態”的知識． 內容解析是闡述用“顯微鏡”認識教材的結果，其主要視點有：知識發生與發展的背景，特別關注研究這些知識與小學研究有關知識的差異；內容的數學本質；新、舊知識的聯系方式；內容的價值——認識價值（對數學知識的認識、對學習方法和理性思維過程等的認識）；智力價值（內容蘊涵的思想方法、思維方式、數學活動經驗等，對發展學生智力的影響）；育人價值（內容蘊涵的能力培養素材，使人成才的功能；內容凝聚的前人或他人的智慧、精神和品格，積淀的具有普遍意義和永恒價值的思維方式、思想觀念、價值取向和精神追求等品質發展素材，使人成人的功能）；應用價值（內容在解決數學內部和外部問題中的作用）等． 教學問題診斷是闡述認識學生的結果，其主要視點有：認知起點（根據內容的認知特點分析學生學習新知識所需要的“生長點”以及學生是否具備學習新知識所需要的“生長點”）；認知障礙（根據內容的認知特點和學生心理發展規律，預測學生學習新知識可能會遇到的思維障礙）． 教學方式與方法分析是闡述用“廣角鏡”認識教學的結果，其主要視點有：分析內容呈現的各種可行方式，并指出各種呈現方式的優點與缺點，從中選擇最能反映數學本質和最有利于發展學生認知的教學方式；分析實現教學目標所需要的教學內容；分析實現教學目標所需要的學習方法和指導策略，特別是有利于促進學生有效思維的教師指導方法；進而構建合適的教學過程結構．

（３）教學分析的策略．理解數學需要正確認識數學知識的內涵：數學知識包括作為人類經驗和精神文化成果的知識（顯性知識）和作為人的生命實踐活動的“過程形態”和“關系形態”的知識（隱性知識）． 因此，知識結構框圖的建構，需要對知識結構多層次理解（特別是意義理解），需要對知識結構多維關系認識；教學價值的定位，需要正確認識內容的數學本質以及內容蘊涵的科學方法、理性思維過程和價值觀資源． 理解教學需要正確認識“教學有法，但無定法”的內涵：教學有法是指教學內容的呈現方式，不但要遵循數學的發展規律（數學的發現、數學的完善、數學的應用）和學生學習數學的認知規律（具體到抽象、特殊到一般、現象到本質），也要遵循教育的規律（在數學學習活動的過程中，體驗思維方法和思想方法，發展能力和個性）；教學無定法是指可行的教學反映方式可能具有多樣性，可以根據內容的特點和不同地域學生的實際選擇合適的教學方式——最能反映內容的數學本質且最有利于學生認知發展． 因此，教學方式的選擇，需要對知識結構多維加工——“條狀重組”、“塊狀重組”、“條塊融通”，在可行的教學方式中選擇合適的教學方式；教學方法的運用，需要激活知識的“生命態”（實現書本知識與學生現實生活的溝通，實現書本知識與學生個人經驗的溝通，實現書本知識與人類生命實踐的溝通），需要根據內容的特點和學生的思維狀況進行有效指導：思維跨度大時的問題暗示、困惑或認識模糊時的點撥、思維受阻時的“元認知提示語”發問、思維偏離方向時的干預、觀念碰撞時的評價、回答不完善時的追問、回答有創意時的激勵、解法多樣化時的價值分析、問題解決后提出反思性問題等．