一個三角形旁切圓半徑與邊長的不等式

摘 要：本文通過一個角平分線不等式和中線不等式定理類比得到一個三角形旁切圓半徑與邊長的不等式．

關鍵詞：角平分線不等式；中線不等式；旁切圓半徑與邊長的不等式

《一個角平分線不等式》一文利用3個引理，證明了如下一個角平分線不等式：

定理1 設a，b，c是△ABC的三邊長，wa，wb，wc是△ABC的角平分線，則

++≥．

《一個角平分線不等式的簡證與加強》一文在指出僅用《一個角平分線不等式》一文的引理1就可以證明定理1后，將△ABC的角平分線與中線類比，提出并證明了如下中線不等式：

定理2 設a，b，c是△ABC的三邊長，對應邊上的角平分線為wa，wb，wc，中線為ma，mb，mc，則

++≥．

本文將△ABC的角平分線與旁切圓半徑類比，得到如下一個三角形旁切圓半徑與邊長的不等式．

定理3 設a，b，c是△ABC的三邊長，ra，rb，rc分別是△ABC的頂點A，B，C所對的旁切圓半徑，則

++≥．

證：記s=（a+b+c），△表示△ABC的面積，r是△ABC內切圓半徑，則△=sr=s（s－a）=s（s－b）=s（s－c），且s2≥27r2，

++=［（s－a）4+（s－b）4+（s－c）4］

≥·33

=·≥=

=≥．

注意到wa≤ma，wb≤mb，wc≤mc，所以定理2確為定理1的加強． 由于ra，rb，rc與wa，wb，wc或ma，mb，mc之間沒有明確的大小關系，但有：wa+wb+wc≤ma+mb+mc≤ra+rb+rc，wa·wb·wc≤ra·rb·rc≤ma·mb·mc，一個自然的、值得關注的問題是：定理3與定理1或定理2誰