論一類超越方程ax=xn(a＞0且a≠1,n∈N*)的根的分布

摘 要：本文利用導數方法，對一類超越方程ax=xn（a＞0且a≠1且n∈N*）的根的分布問題進行研究，得到了一些新的結論，并在實際例子中得以運用和驗證．

關鍵詞：超越方程；根的分布

在高中教學中我們常遇到形如y=3x與y=x2的作圖，我們易知在x>0時兩圖象沒有交點，若有交點時，根的分布是怎樣的呢？這些問題長期困擾著高中教師和學生，歸根結底，我們把這樣的問題歸結為超越方程ax=xn（a>0且a≠1，n∈N*）的根的分布問題．

事實上，方程ax=xn（a>1，n∈N*）的根的問題可轉化為y=ax（a>0且a≠1）與y=xn（n∈N*）的交點問題，我們先討論a>1且n∈N*的情形．

定理1：對于超越方程ax=xn（a>1且n∈N*），

（1）當n為正奇數時：當a>e，方程無根；當a=e，方程有且只有一根x=e；當1

（2）當n為正偶數時：當a>e，方程只有一根位于（－1，0）；當a=e，方程有兩根，一根位于（－1，0），另一根x=e； 當1

證明：易知n為正奇數時，方程在x<0無交點． n為正偶數時，方程在x<0有且僅有一個交點，令g（x）=ax－xn，n=2k，k∈N*，則g（－1）=－1<0，g（0）=1>0，由介值定理知唯一的根位于（－1，0）上． 而對x>0時，n為正奇數和正偶數情況是一致的，下面證明x>0時根的分布問題． 事實上只需分析y=ax（a>1）與y=xn（n∈N*）在x>0上的大小變化情況即可：對兩個函數同取以a為底的對數，即logay=x與logay=nlogax，只需分析x與nlogax的大小變化情況．

令F（x）=x－nlogax（x>0），則F′（x）=1－logae≥0（x>0）， 故F（x）=x－nlogax在（0，nlogae）上為減函數，在［nlogae，+∞）上為增函數． 所以F（x）在x=nlogae處取得極小值．

1當a>e時，F（nlogae）=nlogae－nloga（nlogae）=nlog．

因為a>e，所以logea>，即>，所以>1，?搖所以nloga>0，所以F（nlogae）>0，所以ax=xn（n∈N*且a>1）在x>0時，無根．

2當a=e時，F（nlogae）=0，由單調性知，方程ax=xn（n∈N*且a>1）在x>0時有且僅有一根x=e．

3當10． 取x=em（m>0），=+∞，由極限定義知，存在正實數m0，當m>m0時，>1，即em－mnlogae>0． 故當m>m0，對x=em>em0的一切正實數都有F（x）=x－nlogax>0，由介值定理和單調性知，方程有兩根分布在（0，e）和（nlogae，+∞）．

綜上，定理得證．

再考慮方程ax=xn（01且n∈N*）的根的分布． 由定理1，易得：

定理2：對于超越方程ax=xn（0

（1）當n為正奇數時，方程有且僅有一根位于（0，1）上．

（2）當n為正偶數時，當（0

當a=e時，方程有兩根，一根位于（0，1）上，另一根x=－e；

當e

應用：方程3x=x2有幾個根？

解析：由定理1知，n=2為正偶數，a=3，而e=（e2）<（e2）<3=a，故方程只有一根位于（－1，0）上． 而利用計算機圖形軟件，這一結論符合．