關于兩個分式不等式問題的討論

摘 要：本文利用極限思想構造性地證明了《一個分式不等式的若干思考》一文中所給出的三個分式不等式是不成立的，并且給出具體的取值方法驗證了所得結果的正確性．

關鍵詞：分式不等式；極限思想

有名輝老師在《一個分式不等式的若干思考》一文的文末提出三個關于分式不等式的問題，其中問題2和問題3為：

問題2 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

證明或否定：

++≥， （1）

++≥． （2）

問題3 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

證明或否定：

++≥． （3）

我們利用極限思想構造性地得出不等式（1）（2）（3）均不成立．

問題2中不等式（1）（2）的否定

在不等式（1）中，取b=c，則不等式（1）左端可化為

+，

此時令a→1-，b=c→0+，

則→1，→2，

即+→3，

即當a→1-，b=c→0+時，不等式（1）不成立．比如令a=0.9，b=c=0.05，則

+=+≈3.2<．

在不等式（2）中，取b=c，則不等式（2）可化為+≥，

令a=1－2b，代入上式，得

≥，即

4b2+2（1-2b）2≥9b［b2+（1-2b）2］，

整理得45b3－48b2+17b－2≤0．

取b=c→0.5時，

則45b3－48b2+17b－2→>0，因此當a→0+，b=c→0.5-時，不等式（2）不成立． 比如令a=0.1，b=c=0.45，則+=+≈4.3<．

問題3中不等式（3）的否定

在不等式（3）中取b=c，

則++

=++．

此時令a→1-，b=c→0+，則

→1，→1，→0，

從而++→2<，此時不等式（3）不成立．

比如令a=0.9，b=c=0.05，則

++=++

≈2.0076<．