正確運用空集的性質解題

摘 要：在解題過程中，空集是任何一個集合的子集這一性質容易被忽略，本文從學生的作業中發現幾種忽視空集的情況，列舉出來，以期達到正確運用空集的性質解題的目的．

關鍵詞：空集；性質；解題

在學習集合與集合關系的時候，學生都能記住空集是任何一個集合的子集這一性質，但把這條性質應用于實際解題過程中，他們往往會忽視空集的這條性質，通過檢查他們的作業常常發現如下幾種忽視空集的現象：

若給出兩個集合A，B有A?哿B的關系，則應該思考三種情況：A=，B≠；A=，B=；A≠，B≠．

例１ 已知兩個集合A，B，A=｛x∈Rx2－mx+m2=0，m>0｝，B=｛x∈R2nx2－3nx+4n<0，n≠0｝，則集合A，B的關系是

（ ）

A． ABB． A=B

C． A?芴B或A=BD． AB

學生錯解：對于A集的方程x2－mx+m2=0，其判別式Δ=－3m2，因為m>0，所以Δ<0.

故A=；對于B集的方程2nx2－3nx+4n=0，其判別式Δ=－23n2，因為n≠0，所以Δ<0，故B=；由A=B=，即選B．

錯解分析：對于B集中的條件n≠0，應該從n<0和n>0進行分類討論，上述解答沒有注意到這點；

更正：在B集合中，當n<0時B=R；當n>0時B=，所以集合A，B的關系是A?芴B或A=B，故選C．

例２ 已知集合A=｛x2x2-3x+1≤22x-3｝，集合B=｛xx2－2ax+a+2≤0｝且B?哿A，求實數a的取值范圍．

學生錯解：化簡集合A，則A=［1，4］；由B?哿A，令函數f（x）=x2－2ax+a+2，其兩個零點分別為x1，x2，即B=［x1，x2］?哿［1，4］，如圖1，由數形結合可知：

f（1）≥0，f（4）≥0，Δ≥0，1≤－≤4 ?圯12－2a+a+2≥0，42－8a+a+2≥0，4a2－4（a+2）≥0，1≤－≤4 ?圯a≤3，a≤，a≥2或a≤－1，1≤a≤4?圯a=2，．

圖1

錯解分析：這樣的解答看似有理，實際上只考慮了A≠，B≠的情況，而沒有顧及B=，A≠的存在，導致解答出錯；

更正：接上述的解答過程，再加上若B=時，Δ=4a2－4（a+2）<0，即－1

若給出兩個集合A，B的關系為A∩B=A（或A∪B=B），則轉化為A?哿B，此時應該考慮三種情況：A=；A=B；A?芴B．

例３ 已知集合A=｛xx2－mx+2=0｝，集合B=｛x4x-1=x-x2｝，且A∩B=A，求實數m的取值范圍．

學生錯解：化簡B集合得B=｛1，2｝，由A∩B=A，得A?芴B或A=B兩種情況；當A集合為單元素集合時，則A集中的方程x2－mx+2=0判別式Δ=（－m）2－8=0，解得m=±2，A=｛｝或A=｛－｝，此時A∩B≠A與已知矛盾；當A集合為雙元素集合時A=B，由韋達定理知m=3，所以m的取值為3．

錯解分析：由已知A∩B=A，只是考慮了A?芴B或A=B兩種情況，忽視了A=的情況．

更正：接上述的解答過程，再加上若A=時，A集中的方程x2－mx+2=0判別式Δ=（－m）2－8<0，即－2

例4 已知集合A=｛xlog（x2－x+1）≥log（4x－5）｝，集合B=｛xx2－ax+1≤0｝，若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

學生錯解：化簡集合A=［2，3］，由A∪B=A得B?哿A；令函數f（x）=x2－ax+1，依據圖2數形結合知：

2≤≤3，f（2）≥0，f（3）≥0，f≤0 ?圯4≤a≤6，a≤，a≤，a≥2 或 a≤－2?圯a∈；

錯解分析：上述解答過程只是考慮了B≠的情況，忽視了B=的情況，出現了漏解；

更正：在上述解答過程后面加上當B=時，方程x2－ax+1=0的判別式Δ=a2－4<0，即－2

若給出兩個集合A，B的關系為A∩B=，則應該考慮三種情況：A=，B≠（或A≠，B=）；A=，B=；A≠，B≠．

例5 已知集合A=｛xx+1+x－4≤7｝，集合B=｛xm+1≤x≤2m－1｝，若A∩B=，求實數m的取值范圍．

學生錯解：化簡集合A=［-2，5］，由A∩B=，根據數形結合思想得：2m－1<－2或m+1>5，即m<－或m>4為所求m的取值范圍．

錯解分析：上述解答是根據已知A∩B=得出B≠的條件下求解的，忽視了B=這一情況；同時在B≠的解答過程中也沒有注意m+1≤2m－1的大前提．

更正：當B=時，由m+1>2m－1解得m<2；當B≠時，

解不等式組m+1≤2m－1，2m－1<－2 或 m+1>5

?圯m≥2，m<－或m>4?圯m>4；

綜上所述：實數m的取值范圍是m<2或m>4．

總之，學生們在學習集合知識，遇到此類習題的時候，應注意分析空集是解題過程中不可或缺的重要一環，此外，在解題之時還要正確應用函數與方程思想、不等式思想、數形結合思想及分類討論思想．