基于線性規(guī)劃的角度探討含雙參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題

摘要：線性規(guī)劃是以不等式（或不等式組）為基礎(chǔ)，一般考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力． 但它對(duì)一些雙變量或含雙參數(shù)問(wèn)題的處理有著獨(dú)到的不可忽視的作用． 本文試著從五個(gè)方面來(lái)闡述站在線性規(guī)劃的角度探討雙變量或含雙參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

關(guān)鍵詞：多變量；最值；策略

數(shù)學(xué)枯燥，數(shù)學(xué)難學(xué)，成為一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏的緣由，作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該反思． 如何讓數(shù)學(xué)內(nèi)容生動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)別樣，數(shù)學(xué)課堂精彩，這取決于教師在教學(xué)時(shí)，如何多角度多層次地展開數(shù)學(xué)教學(xué)，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)演繹數(shù)學(xué)． 對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果僅從表象分析，只是屬于某類數(shù)學(xué)問(wèn)題的范疇，但如果另辟蹊徑從另外的視角求解，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，就會(huì)打開另一扇門，展現(xiàn)出另一個(gè)奇異的世界． 雙參數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是這種新視角研究的一個(gè)很好的范本． 這種雙參數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題，若采用主客元換位的思維方式，從線性規(guī)劃的視角來(lái)理解與演繹，就可激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和興趣． 究其因，主要是以這樣的視角看問(wèn)題與開展教學(xué)活動(dòng)，可以讓學(xué)生從一個(gè)嶄新的角度去欣賞數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．通過(guò)欣賞別樣的風(fēng)景來(lái)產(chǎn)生愉悅的體驗(yàn)，從而提高學(xué)習(xí)的積極性．

基于線性規(guī)劃的角度探討方程問(wèn)題

一個(gè)方程含有雙變量或雙參數(shù)，并通過(guò)方程條件，建立了參數(shù)之間的聯(lián)系． 若從方程條件入手分析，雙變量或雙參數(shù)就會(huì)成為解題中的復(fù)雜因素，如果我們利用線性規(guī)劃思想，把方程條件轉(zhuǎn)換成雙參數(shù)的可行域，利用線性規(guī)劃的思想來(lái)解題，則可簡(jiǎn)化解題．

例1 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________．

（2011年浙江高考理科第16題）

解析：由4x2+y2+xy=x2++y2=1，可令+y=b，x=a，于是

a2+b2=1且x=，y=b－， 從而z=2x+y=+b． 所以，原問(wèn)題等價(jià)于已知P（a，b）是單位圓a2+b2=1上一動(dòng)點(diǎn)，求z=+b的最大值問(wèn)題． 不難得到當(dāng)直線b=－+z與單位圓相切且位于圓上方時(shí)z有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題若用不等式的角度求解，這對(duì)不等式的變形以及等與不等之間的轉(zhuǎn)換要求較高，而這往往又是學(xué)生思維的難點(diǎn)，而從幾何的視角——線性規(guī)劃的知識(shí)來(lái)求解此題，可以滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提供操作性較強(qiáng)的運(yùn)算方法，更主要的是可以開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界和思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力． 此題也可以構(gòu)造橢圓4x2+y2+xy=+=1求解，方法類似，讀者不妨一試．

例2 設(shè)集合A（p，q）=｛x∈Rx2+px+q=0｝，當(dāng)實(shí)數(shù)p，q取遍［-1，1］的所有值時(shí)，求所有集合A（p，q）的并集．

解析：將方程x2+px+q=0看做關(guān)于p，q的二元一次方程px+q+x2=0，它表示一條直線． 當(dāng)實(shí)數(shù)p，q取遍［-1，1］的所有值時(shí)，點(diǎn)（p，q）滿足的條件可轉(zhuǎn)化為圖1中陰影部分的區(qū)域ABCD，由題意得直線與此區(qū)域有公共點(diǎn)，從而只需滿足

x≥0，x2－x－1≤0 或x<0，x2+x－1≤0，

故－≤x≤，所以集合A（p，q） =x－≤x≤.

點(diǎn)評(píng)：本題難度很大，初看此題，題意甚難理解． 事實(shí)上，題中集合A（p，q）中的元素是方程x2+px+q=0的根，而系數(shù)p，q需滿足－1≤p，q≤1，所求的問(wèn)題則是求方程x2+px+q=0所有根構(gòu)成的集合．注意到條件是雙參數(shù)p，q問(wèn)題，且p，q范圍可知，于是可以主客換位，聯(lián)想運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)求解，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在線性約束條件－1≤p，q≤1下，直線x2+px+q=0與區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)求“參數(shù)x”的取值范圍． 真可謂，構(gòu)思巧妙，視角新穎．

基于線性規(guī)劃的角度探討函數(shù)問(wèn)題

含有多參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，如果糾纏于簡(jiǎn)單地列出條件，處理一系列參數(shù)條件，往往難以處理，如果我們以參量為變數(shù)，用線性規(guī)劃的視角處理問(wèn)題，就會(huì)峰回路轉(zhuǎn)，捷徑頓現(xiàn)．

例3 已知函數(shù)f（x）=x2++a·x++b（x∈R，且x≠0），若實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)y=f（x）在定義域上有零點(diǎn)，求a2+b2的最小值．

解析：由函數(shù)y=f（x）在定義域上有零點(diǎn)，可得方程x2++ax++b=0有解．

一方面，把上述方程看做關(guān)于a，b的一個(gè)二元一次方程x+a+b+x2+=0，則它表示一條直線；另一方面a2+b2表示點(diǎn)P（a，b）到原點(diǎn)的距離的平方． 令x+=t，則ta+b+t2－2=0，于是（a2+b2）min==（t2+1）+－6． 由于t=x+∈［2，+∞）∪（－∞，－2］，故t2+1≥5． 注意到函數(shù)f（x）=x+在［5，+∞）上是增函數(shù)，所以a2+b2的最小值為．

點(diǎn)評(píng)：此題的視角新穎之處在于對(duì)參變量的認(rèn)識(shí)和處理，本題解法中采用主客換位，把參數(shù)看做主變?cè)兞靠醋鰠?shù)，并把目標(biāo)式看做動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到原點(diǎn)的距離的平方，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的溝通與轉(zhuǎn)化，實(shí)為巧妙之構(gòu)思也．

基于線性規(guī)劃的角度探討向量問(wèn)題

平面向量溝通了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，一組向量基底和一個(gè)數(shù)組可表示平面中的任意向量，因此向量之間的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為數(shù)組表示的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這就可把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參量問(wèn)題，從而可用線性規(guī)劃視角來(lái)處理．

例4 設(shè)兩個(gè)向量a=（λ+2，λ2－cos2α）和b=m，+sinα，其中λ，m，α為實(shí)數(shù)． 若a=2b，則的取值范圍是（）

A． ［-6，1］ B． ［4，8］

C． （-∞，1］D． ［-1，6］

（2007年天津高考理科第10題）

解析：由a=2b得

λ+2=2m （1）λ2－cos2α=m+2sinα （2）

于是由（2）式可得λ2－m=cos2α+2sinα∈［－2，2］，從而原問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為在約束條件λ+2=2m，－2≤λ2－m≤2 下，求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍問(wèn)題． 作出可行域如圖2所示，線段AB即為動(dòng)點(diǎn)P（m，λ）所在的區(qū)域，不難得到A（2，2），B，－，故－6=kOB≤kOP=≤kOA=1，即有－6≤≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題的常規(guī)方法是采用函數(shù)思想求解，即先根據(jù)條件等式與不等式組求出λ（或μ）的取值范圍，把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ（或μ）的函數(shù)，然后利用函數(shù)思想求解，讀者不妨一試．

例5設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且=m+n（m，n∈R），求m2+n2－2m－2n+2的取值范圍．

解析：如圖3，設(shè)直線AP的延長(zhǎng)線與AB相交于P′，由于A、P、P′與B、P′、C三點(diǎn)都共線，所以存在實(shí)數(shù)x，y，使得=x+（1－x），=y（0

得m=xy，n=y（1－x），m+n=y， 從而有0

點(diǎn)評(píng)：本題的解題入口較難，很多同學(xué)面對(duì)本題往往束手無(wú)策． 本解法首先是將點(diǎn)P轉(zhuǎn)移到三角形的邊界上，然后充分利用三點(diǎn)共線的充要條件引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)x，y表示題目中的給定參數(shù)m，n，最后由x，y的取值范圍來(lái)確定m，n的取值范圍，進(jìn)而得到關(guān)于m，n的不等式組，才得以凸顯出m，n之間的內(nèi)在聯(lián)系，最后從線性規(guī)劃的視角看待此問(wèn)題．另外，注意到題中三角形沒(méi)有注明是什么類型的三角形，于是就可以將此三角形看做特殊情形來(lái)驗(yàn)算，結(jié)合條件向量的起點(diǎn)字母，我們可以把A看做坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在的直線看做x軸與y軸，最終可轉(zhuǎn)化為同樣的線性規(guī)劃問(wèn)題求解．

基于線性規(guī)劃的角度探討數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列問(wèn)題常可歸結(jié)為關(guān)于a1，an，Sn，n，d（或q）的基本量，因此數(shù)列條件常以基本量的條件來(lái)呈現(xiàn)，這種雙參數(shù)問(wèn)題的背景為線性規(guī)劃思想的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了有利的條件．

例6 已知等差數(shù)列｛ａn｝的前n的和為Sn，滿足S5≥10，S6≤15，求a4的最大值．

解析：設(shè)等差數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為a，公差為d，由S5≥10，S6≤15得a1+2d≥2，2a1+5d≤5. 它表示的區(qū)域可以如圖4所示，又a4=a1+3d，所以當(dāng)直線l：t=a1+3d經(jīng)過(guò)A（1，0）時(shí)a4的值最大為3．

點(diǎn)評(píng)：基本量的思想，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的常規(guī)方法．在等差或等比的背景條件下，當(dāng)條件中出現(xiàn)不等關(guān)系，目標(biāo)量又是跟取值范圍或最值有關(guān)時(shí)，我們就可以嘗試把首項(xiàng)與公差（或公比）看做兩個(gè)變量，然后構(gòu)造出不等式組和目標(biāo)關(guān)系式，并利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解． 此題如果從數(shù)列的角度來(lái)求解，簡(jiǎn)解如下：由S5≥10得a3≥2；由S6≤15得a3+a4≤5，兩式相結(jié)合不難得到a4≤5－a3≤3． 但從線性規(guī)劃的視角來(lái)看，本解法把等差數(shù)列的兩個(gè)基本量看做兩個(gè)變量，由此根據(jù)條件構(gòu)造出不等式組，并從幾何的視角顯現(xiàn)出線性規(guī)劃的特性，由此得到的解法構(gòu)思新穎，給人以耳目一新之感． 此視角對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣非常有效，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)大有裨益，值得借鑒和滲透．

綜上所述，對(duì)某些雙參數(shù)或可以構(gòu)造出雙參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果條件式可以轉(zhuǎn)化為不等式（或等式）或不等式（或等式）組（或混合組），而目標(biāo)式又具有明顯的線性意義的時(shí)候，我們就可以另辟蹊徑，從線性規(guī)劃的視角看此數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲解． 這種轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各種內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，打破了僵守表象的陋習(xí)，活躍了數(shù)學(xué)的解題思維，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的有益轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生體會(huì)到活化的數(shù)學(xué)和流動(dòng)的思維．在平時(shí)的教學(xué)中，充分利用這些有效素材來(lái)開闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的思維，對(duì)破解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏難情緒，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力起到了良好的收效． 真可謂：另眼看數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)真奇妙．