一道競賽題的推廣及另一半

摘 要：本文對2011年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽題的13題的第一小問的結論進行了五種推廣，找到每種推廣的結論，并且對類似的問題放在一起來研究，找到他們與三角形對應角之間的規律．

關鍵詞：數學知識；推廣；變化圖形

2011年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽題的13題為：

如圖1，P是△ABC內一點．

（1）若P是△ABC的內心，證明：∠BPC=90°+∠BAC；

（2）若∠BPC=90°+∠BAC且∠APC=90°+∠ABC，

證明：P是△ABC的內心．

這道題的第一問蘊涵著豐富的數學知識，本人通過研究發現它可以推廣，并且經過適當地變化圖形可以得到相應的結論．

推廣1 在△ABC中，∠PBC=k∠ABC，∠PCB=k∠ACB（0

證明：∠BPC=π－∠PBC－∠PCB=π－k（∠ABC+∠ACB）=π－k（π－∠BAC）=（1－k）π+k∠BAC．

這個推廣也可以用∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP來證明．

推廣2 如圖2，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，當n≥2時，∠PnBPn-1=k∠ABPn-1，∠PnCPn-1=k∠ACPn-1（0

簡證：n≥2，∠BPnC=∠BPn-1C－∠PnBPn-1－∠PnCPn-1

=∠BPn-1C－k（∠BPn-1C－∠BAC）

=（1-k）∠BPn-1C+k∠BAC，

即∠BPnC－∠BAC=（1-k）（∠BPn-1C－∠BAC）=（1-k）n-1∠BP1C－∠BAC

=（1-k）nπ－（1-k）n∠BAC+∠BAC.

推廣3 如圖3，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，∠P1BP2=k∠P1BC，∠P1CP2=k∠P1CB，當n≥2時，∠PnBPn-1=k∠Pn-2BPn-1，∠PnCPn-1=k∠Pn-2CPn-1（0

簡證：∠PnBC=∠P1BC+∠P1BP2+∠P2BP3+…+∠PnBPn-1=k∠ABC+k2·∠ABC+k3∠ABC+…+kn∠ABC=·∠ABC，∠PnCB=∠P1CB+∠P1CP2+∠P2CP3+…+∠PnCPn-1=k∠ACB+k2·∠ACB+k3∠ACB+…+kn∠ACB=·∠ACB，∠BPnC=π－（∠PnBC+∠BCPn）=π－（π－∠BAC）．

推廣4 如圖4，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，當n≥2時，∠PnBC=k∠Pn-1BC，∠PnCB=k∠Pn-1CB（0

簡證：n≥2，∠PnBC=k∠Pn-1BC=…=kn∠ABC

∠BCPn=k∠BCPn+1=…=kn∠ACB，

∠BPnC=π－∠PnBC－∠PnCB=π－kn（π－∠BAC）．

推廣5 如圖5，在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，當n≥2時，∠Pn-1BC=k∠PnBC，∠Pn-1CB=k∠PnCB（0

推廣6 在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，當n≥2時，∠ABPn-1=k∠PnBPn-1，∠ACPn-1=k∠PnCPn-1（0

推廣7 在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，∠P1BC=k∠P1BP2，∠P1CB=k∠P1CP2，當n≥2時，∠Pn-2BPn-1=k∠PnBPn-1，∠Pn-2CPn-1=k∠PnCPn-1（0

則∠BPnC=π－（π－∠BAC）（n∈N*）．

類似的問題1：如圖6，在△ABC中，∠PBC=k∠MBC，∠PCB=k∠NCB（0

推廣8 如圖7，在△ABC中，∠P1BC=k∠MBC，∠P1CB=k∠NCB（0

推廣9 如圖8，在△ABC中，∠P1BC=k∠MBC，∠P1CB=k∠NCB（0

推廣10 如圖9，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，當n≥2時，∠PnBPn-1=k∠Pn-2BPn-1，∠PnCPn-1=k∠Pn-2CPn-1（0

類似的問題2：如圖10，在△ABC中，∠PCB=k∠ACB，∠PBM=k∠ABM（0

圖10

推廣11 在△ABC中，∠P1CB=k∠ACB，∠P1BM=k∠ABM（0

一個看起來比較簡單的數學問題，通過研究反思后，對它進行推廣可以得到我們想象不到的結論.