一個(gè)課本定理的推廣及其演變

摘 要：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修5）第一章中介紹了關(guān)于三角形中邊角關(guān)系的一個(gè)重要定理——余弦定理，本文在此定理基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的推廣及演變應(yīng)用.?搖

關(guān)鍵詞：余弦定理；推廣；應(yīng)用

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修5）第一章介紹了關(guān)于三角形中邊角關(guān)系的一個(gè)重要定理——余弦定理，其內(nèi)容為：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍. 如圖1，定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：b2=a2+c2－2accosB，其余兩式略.

簡(jiǎn)證如下：由=+得，·=（+）（+）=2+2·+2=2+2||·||cos（180°－B）+2=c2－2accosB+a2，

即：b2=a2+c2－2accosB得證.

筆者對(duì)此定理作了如下的幾個(gè)推廣及其演變：

推廣1 如果將正弦定理中a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入余弦定理中可以得到：

（1）sin2C+sin2B－2sinCsinBcosA=sin2A；

（2）sin2A+sin2C－2sinAsinCcosB=sin2B；

（3）sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC=sin2C.

如果將上面三式中兩個(gè)角的正弦平方的和減去第三個(gè)角的正弦平方，等于前兩個(gè)角的正弦與第三個(gè)角的余弦的積的兩倍，就可以得到下列的演變.

演變1：在△ABC中，sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinBcosC；

演變2：在△ABC中，sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2（A+B）；

進(jìn)一步探究演變2的結(jié)構(gòu)特征總感覺有“意猶未盡”之感，當(dāng)A，B這兩個(gè)角推廣到任意角時(shí)，該等式還會(huì)成立嗎？事實(shí)上，答案是肯定的.

演變3：sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）=sin2（α+β），其中α，β是任意角.

證明：左邊=++2sinαsinβcos（α+β）=1－（cos2α+cos2β）+2sinαsinβcos（α+β）=1－cos（α+β）cos（α－β）+2sinαsinβcos（α+β）=1－cos（α+β）·［cos（α－β）－2sinαsinβ］=1－cos2（α+β）=sin2（α+β）=右邊.

推廣1及其演變的應(yīng)用：

（1）求三角函數(shù)的值

例1 求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解：由演變1可知：原式=sin219°+sin241°+sin19°sin41°=sin219°+sin241°+2sin19°sin41°cos60°=sin260°=.

例2（1998年全國(guó)高考試題）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A－C=，求sinB的值.

解：由a+c=2b及正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 又因?yàn)锳－C=，所以2sinAsinC=－cos（A+C）+cos（A－C）=+cosB. 運(yùn)用推廣和演變，以及三角形中A+C=π－B，結(jié)合前兩式的變形整理得，3sin2B=+cosB（1+cosB）. 化簡(jiǎn)得，8cos2B+3cosB－5=0，解得cosB=，cosB=－1（舍去）. 因此，sinB=.

（2）判斷三角形的形狀

例3 在△ABC中，已知sin2A+sin2B+sin2C=2，試判斷△ABC的形狀.

由演變1知sin2A+sin2B+sin2C－2=2sinAsinBcosC+2sin2C－2=2（sinAsinB－cosC）cosC=2cosC［sinAsinB+cos（A+B）］=2cosAcosBcosC.

因?yàn)閟in2A+sin2B+sin2C=2，所以cosAcosBcosC=0，即A，B，C中有一個(gè)為直角，所以△ABC為直角三角形.

（3）恒等式的證明

設(shè)α，β為銳角，且sin2α+sin2β=sin（α+β），求證：α+β=.

證明：由演變3知sin2（α+β）=sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β）=sin（α+β）+2sinαsinβcos（α+β）≥sin2（α+β）+2sinαsinβcos（α+β），可見，cos（α+β）≤0，所以α+β≥. 若α+β>，則>α>－β>0，得sinα>sin－β=cosβ>0，從而sin（α+β）=sin2α+sin2β>cos2β+sin2β=1，矛盾. 綜上，α+β=.

推廣2 余弦定理的向量式

在△ABC中，BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos∠BAC，即AB·ACcos∠BAC=·（AB2+AC2－BC2），

故有·=（2+2－2）.

事實(shí)上，這一式子對(duì)于A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)也成立. 我們把這一式子稱為余弦定理的向量式. 它在解決角度、距離等相關(guān)問題時(shí)，可以避開各種輔助線的添加，減弱推理論證成分，收到事半功倍之效果.

例4 （1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已知點(diǎn)A（1，2），過點(diǎn)D（5，-2）的直線與拋物線y2=4x交于B，C兩點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀.

解 設(shè)B，C的坐標(biāo)分別為（t2，2t），（s2，2s），s≠t，s≠±1，t≠±1.

因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以=，化簡(jiǎn)得（s－t）（ts+t+s+5）=0. 于是，ts+t+s+5=0，即（s+1）（t+1）=－4.

計(jì)算得·=（2+2－2）=［（t2－1）2+（2t－2）2+（s2－1）2+（2s－2）2－（t2－s2）2－4（t－s）2］=s2t2－（t2+s2）+4st－4（t+s）+5=（t－1）（s－1）［（s+1）（t+1）+4］=0，所以△ABC為直角三角形.

例5 （斯坦納定理）在四面體A-BCD中，設(shè)棱AD與BC所成的角為α，則

cosα=.

證明：如圖2，因?yàn)?+，

所以·=（+）=·+·=－+=. 又因?yàn)椤?·cos〈，〉，α與〈，〉相等或者互補(bǔ). 所以cosα=cos〈，〉?搖=·.

事實(shí)上，我們作進(jìn)一步探究可以發(fā)現(xiàn)，余弦定理還可以得到如下的兩個(gè)推廣:

推廣3 在凸多邊形ABCD中，有AD2=AB2+BC2+CD2－2AB·BC·cosB－2BC·CD·cosC－2AB·CD·cos〈B，C〉，其中〈B，C〉是指AB與CD的交角.

證明：如圖3，連結(jié)AC，在△ACD中，有AD2=AC2+CD2－2AC·CDcos∠ACD①；

在△ABC中，有AC2=AB2+BC2－2AB·BCcosB②；

①+②，得AD2=AB2+BC2+CD2－2AB·BC·cosB－2AC·CD·cos∠ACD③.

將③式與欲求證的推廣3比較，只需證明

AC·CD·cos∠ACD=BC·CD·cosC+AB·CD·cos〈B，C〉就行了，而這又只需要證明AC·cos∠ACD=BC·cosC+AB·cos〈B，C〉就行了.

我們仔細(xì)觀察等式兩邊的量，這究竟在表示什么？事實(shí)上，左邊是CA在CD上的射影，右邊是CB在CD上的射影，加上BA在CD上的射影，兩者恰好相等. 于是推廣3就被證明，即三角形的余弦定理可以成功推廣至四邊形.

事實(shí)上采用上述的類似辦法，還可以把余弦定理進(jìn)一步推廣到凹四邊形、空間四邊形和空間n邊形. 這里筆者把問題留給讀者去探究了.

推廣4?搖 把三角形類比于四面體，把三角形的邊類比于四面體的面，把三角形的角類比于四面體的二面角. 從形式上，可以將三角形的余弦定理推廣到四面體，于是得到

S=S+S+S－（2SBSCcos〈AD〉+2SBSDcos〈AC〉+2SCSDcos〈AB〉）

說明：式中SA，SB，SC分別表示頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)的面的面積；cos〈AD〉，cos〈AC〉，cos〈AB〉分別表示以AD，AC，AB為棱的二面角的余弦值.

這個(gè)式子具有明顯的對(duì)稱性，結(jié)果是成立的. 事實(shí)上，我們有下面的結(jié)論：在四面體ABCD中，

SA=SBcos〈CD〉+SCcos〈BD〉+SDcos〈BC〉①；

SB=SCcos〈AD〉+SDcos〈AC〉+SAcos〈CD〉②；

SC=SDcos〈AB〉+SAcos〈BD〉+SBcos〈AD〉③；

SD=SAcos〈BC〉+SBcos〈AC〉+SCcos〈AB〉④.

這四個(gè)式子是輪換對(duì)稱的，證明也顯然（只需要利用求二面角的“射影面積法”）. 若將上四式作下列運(yùn)算：

①×SA-［②×SB+③×SC+④×SD］，可得

S－（S+S+S）=－2SBSCcos〈AD〉－2SCSDcos〈AB〉－2SDSBcos〈AC〉.

整理即得推廣4

由此可見，三角形的余弦定理在四面體中的推廣也是成功的.

以上是筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)人教版課本解三角形中余弦定理的推廣和演變. 許多高考題和競(jìng)賽題都是通過對(duì)教材的深入研究、引申、演變，推廣出一些新的命題. 因此，在學(xué)習(xí)中我們要有意識(shí)地研究一些教材中的典型例題，揭示出其豐富的內(nèi)涵. 這樣不僅有利于掌握基礎(chǔ)知識(shí)，而且對(duì)于培養(yǎng)應(yīng)變能力，開拓思維大有好處，真正適應(yīng)“來源于課本，而高于課本”的命題原則.