周期

摘 要：數(shù)列問題是歷年來高考和各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的熱門課題之一，它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系． 在中學(xué)階段，周期數(shù)列問題的一般解法是列舉前有限項(xiàng)觀察其周期性，再利用其周期求解，顯然，列舉前有限項(xiàng)的方法只能解決一些最小正周期不大的數(shù)列問題，對(duì)于最小正周期較大的數(shù)列我們就不易解決了，而且，由數(shù)列有限項(xiàng)得出它是周期數(shù)列的結(jié)論也缺乏科學(xué)證明，因此有必要對(duì)數(shù)列中的周期類型做一些探討，從而解決相關(guān)問題．

關(guān)鍵詞：數(shù)列；函數(shù)方法?搖

數(shù)列問題是歷年來各級(jí)數(shù)學(xué)高考、競(jìng)賽及最近火熱的自主招生考試命題的熱門課題之一，縱觀近幾年全國(guó)各地高考、模擬試題，出現(xiàn)了不少與周期有關(guān)的問題，它即可以以填空題或選擇題等形式出現(xiàn)，也可以作為解答題中的枝問為后面的設(shè)問做鋪墊或結(jié)合其他知識(shí)考查學(xué)生的綜合能力． 處理數(shù)列問題時(shí)，我們不但要掌握數(shù)列的概念，還要充分挖掘數(shù)列的性質(zhì)，因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列中也存在著單調(diào)性、周期等性質(zhì)，有些數(shù)列題，表面上看與周期無關(guān)，但實(shí)際上隱含著周期性，一旦揭示了其周期，問題便迎刃而解．

下面筆者就近幾年模擬、高考試題中的幾種常見類型題目歸類解析如下，希望可以給大家?guī)韼椭?/p>

通過觀察、歸納探究數(shù)列中的項(xiàng)

例1 已知數(shù)列｛ａn｝中，a1=2，an= －（n≥2），則a2011=________．

解析：由題意知：a1=2，a2=－，a3=2，a4=－，由此歸納可得該數(shù)列的周期為2，于是a2011=a1005×2+1=a1=2．

例2 已知數(shù)列｛ａn｝（n∈N*）滿足：an+1=an-t，an>t，t+2－an，an2，若an+l=an（k∈N*），則實(shí)數(shù)k的最小值為________．

解析：由題意知a2=a1－t∈（0，1），故a2

點(diǎn)評(píng)：上述兩題在考試中出現(xiàn)的頻率很高，難度不大，我們只要對(duì)首項(xiàng)值的大小或取值范圍做些比較，充分利用題設(shè)中的遞推關(guān)系就可以達(dá)到解題的目的．

借助特征根方程探究周期

例3 已知數(shù)列｛ａn｝滿足：an+1=（n∈N*），其中a1=1，試求a11．

解析：設(shè)特征方程為x=，此方程無解，于是判斷出該數(shù)列為周期數(shù)列，通過求解可得周期為4，則a11=a3=－．

與三角知識(shí)結(jié)合

例4 數(shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)ａn=n2·cos2-sin2，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為________．

解析：由于cos2－sin2以3為周期，故

S30=-+32+-+62+…+-+302

=-+（3k）2

=9k-=-25=470.

點(diǎn)評(píng)：善于發(fā)現(xiàn)題目的結(jié)構(gòu)特征并能靈活、準(zhǔn)確運(yùn)用三角和數(shù)列求和知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．

通過賦值確定具體項(xiàng)的取值

例5 已知數(shù)列｛ａn｝的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1． 那么a10=______．

解析：令m=n=1，則S1+S1=S2?圯a1+a1=a2+a1，故a2=1；令m=1，n=2，則S3=S1+S2=3，所以a3=1，…，故a10=1．

例6 已知數(shù)列｛ａn｝中，a1=1，a2=0，對(duì)任意正整數(shù)n，m（n>m）滿足a-a=an-man+m，則a119=________．

解析：令m=2，則a=an-2·an+2，由此得｛ａn｝中的偶數(shù)項(xiàng)均為0；令m=1，則a=an+1·an-1+1，從而a=a1a3+1，a3=-1． 由a=an-2·an+2及a1=1，a3=－1知｛ａn｝中的奇數(shù)項(xiàng)依次成等比數(shù)列，公比為－1，故a119=－1．

此類題目還有：已知數(shù)列｛ａn｝滿足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，則a2009=________；a2014=_________．

解析：本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)． 屬于創(chuàng)新題型． 依題意，得a2009=a4×503-3=1，a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0．

分段型遞推數(shù)列中的周期問題

例7 已知數(shù)列｛ａn｝滿足：a1=a=，an+1=2an，an≤3，an－3，an>3，則S4m+2=______．

解析：由m∈N*，可得2m－1≥1，故a=≤3，當(dāng)1

故ak=2k-1a且am+1=2ma． 又am+1=>3，所以am+2=am+1－3=2ma－3=2m·－3=a．

故S4m+2=S4（m+1）－a4m+3－a4m+4 =4（a1+a2+·…+am+1）－（2m-1+2m）a=4（1+2+…+2m）a－3×2m-1a=4（2m+1－1）a－3×2m-1a=（2m+3－4－3×2m-1）a=．

變式：已知數(shù)列｛ａn｝滿足：a1=a，an+1=an－3，an>3，4－an，an≤3（n∈N*），求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，總存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n>m時(shí)，an+4=an成立．

解析：（1）a>3時(shí)，不妨設(shè)a=3k+p（k∈N*，0≤p<3），由an+1=an－3，得a1，a2，…，ak+1成等差數(shù)列，ak+1=p∈［0，3），①當(dāng)p=0時(shí)，則有ak+2=4，ak+3=1，ak+4=3，ak+5=1，…，所以存在正整數(shù)m=k+3，當(dāng)n>m時(shí)，an+2=an成立，則an+4=an成立；②當(dāng)0m時(shí)， an+4=an成立；③當(dāng)p=1時(shí)，則有ak+2=3，ak+3=1，…，所以存在正整數(shù)m=k，當(dāng)n>m時(shí)，an+2=an成立，則an+4=an成立；④當(dāng)1m時(shí)，an+2=an成立，則an+4=an成立；（2）當(dāng)a=3時(shí)，a2=1，由（1）③知命題成立；（3）當(dāng)03，由（1）知命題成立． 綜上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，總存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n>m時(shí)，an+4=an成立．

點(diǎn)評(píng)：上兩題難度較大，關(guān)鍵在于切入點(diǎn)的選擇上，區(qū)別于例1的地方在于數(shù)列的首項(xiàng)取值范圍不明朗，需要討論，所以給學(xué)生帶來困惑，很多學(xué)生在確定首項(xiàng)的取值范圍后，對(duì)第二項(xiàng)的取值便感到無從下手，這就需要我們挖掘問題的實(shí)質(zhì)：何時(shí)跳出前段進(jìn)入下一段的遞推，這時(shí)對(duì)臨界值的把握就顯得至關(guān)重要，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高．

模周期數(shù)列

例8 設(shè)數(shù)列｛ｖn｝滿足v0=1，v1=3，vn+2=4vn+1－vn． 試對(duì)非負(fù)整數(shù)n，確定2v-vn的末兩位數(shù)字．

解析：因vn+2=－vn（mod4），v0=1，v1=3，從而vn=1（mod4），若m≡0或3（mod4），3（mod4），若n≡1或2（mod4），2v-vn≡1或3（mod4）． 另外，vn除以25，余數(shù)成周期為15的數(shù)列：1，3，11，16，3，21，3，6，21，3，16，11，3，1；1，2，11，16，3，… ，所以vn≡1，3，6，11，16，21（mod25）． 不難驗(yàn)證恒有2v-vn≡1（mod25）． 由此，得2v-vn=1（mod100），若m≡0或3（mod4），51（mod100），若n≡1或2（mod4），即在n=4k或4k+3時(shí)，2v-vn的末兩位數(shù)字為01，在n=4k+1或4k+2時(shí)，2v-vn的末兩位數(shù)字為51．

點(diǎn)評(píng)：模周期數(shù)列常用于處理與數(shù)論有關(guān)的問題，討論數(shù)列的整除性，考查完全平方項(xiàng)等．

周期數(shù)列問題中往往是要對(duì)通項(xiàng)的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，始終抓住an+T=an一式，有很多討論只要在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行即可推廣到全體的項(xiàng)，充分考查了學(xué)生的推理、論證能力，對(duì)培養(yǎng)分類討論思想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲱}思維都起到了很好的訓(xùn)練作用．