立足三個“基本點”,打造高效復習課堂教學模式

摘 要：關于課堂教學模式探討的問題，對于每位教師來說是值得一輩子研究的課題，特別是在當前新課程背景下，我們要對學生減負，以前靠“管、灌、壓”的縣中模式已不太適應時代的發展，而且教學時間縮短，那么如何在有限的時間內完成好教學內容，提高單位時間效率呢？本文從一節復習課的設計出發，找到一條提高復習教學效率的途徑.

關鍵詞：高考題；課本；變式；學生

為了進一步推動新課程背景下高三復習課堂教學有效性的研究，前不久在我校舉行了全市對外公開課，筆者有幸被選中，通過前期的準備、課堂的呈現及反思，收獲頗多，故將教學設計與思路整理成章，以之作為我們今后高三復習借鑒及推廣之用.

基本情況

1. 學生情況分析

由于這是高三一輪復習課，學生再次接觸到直線與圓的相關問題已經不太陌生，而且這些學生都是來自四星級高中的理科學生，基礎相對較好，具備了一定的邏輯思維能力及自學能力. 但由于間隔時間較長，加之少部分學生依賴性較強，對數學存在或多或少的恐懼感，因此，教師要變換常規的復習模式，通過指導，教會學生獨立思考，大膽探索和靈活運用類比、轉化、歸納及數形結合等數學思想方法來解決數學問題.

2. 教材內容分析

作為高中數學解析幾何中的重點內容，它是江蘇高考第18題常選考題，08年、09年連續兩年考查了直線與圓的知識.《2012年江蘇考試說明》中指出：直線的方程（C級）、圓的標準方程和一般方程（C級），直線與圓、圓與圓的性質關系（B級）. 這節課有兩個難點之處：①直線設成點斜式來處理切線、弦長等問題時，斜率k不存在的情況易漏；②定點、定值問題的一般處理方法. 為此，如何立足教材，結合高考風向標，利用教材來解決以上問題，體現了教師的教學理念.

（1）教學目標：

【知識與技能目標】 通過對課本問題的變式，進一步豐富學生對知識的認識，掌握對切線、切線長、弦長、定點定值問題的一般處理方法.

【過程與方法目標】 通過例題的變式與類比，經歷探索、發現的過程，提高觀察水平和想象能力，提高數學素養.

【情感與態度目標】 在“做”數學中增強學習數學的熱情和興趣，在自主探索、合作交流中獲得成功的體驗，在積極思維中形成勇于探索的學習品質.

（2）教學重點、難點：

【教學重難點】 掌握對切線、切線長、弦長、定點、定值問題的一般處理方法.

（3）教學方法與教學手段

【教學方法與教學手段】 遵循啟發式教學原則，通過恰當的情境創設，引導學生進行探索活動，在學生經歷觀察、操作、概括的基礎上，讓學生自覓知識、自悟性質，從而達到“教”是為了“不教”的理想教學境界.

教學過程實錄（簡案）

1. 創設情境（以高考題引入，激起學生的學習興趣）

教師：前面我們和大家一起分別探究了直線的知識和圓的知識，那么直線與圓在一起又會產生什么樣的美妙火花呢？（板書：直線與圓的位置關系） 首先讓我們先到高考戰場上看一看，高考考什么？（2009江蘇卷及2011江蘇卷第18題，題目：略）

學生1：弦長問題、定點問題、定值問題. （教師板書）

評析：以高考考題為引導，可激起學生的學習興趣，且可以從整體上把握考查的知識點，使學生直觀上了解本堂課的主要內容.

2. 回歸課本（整合課本題，讓學生參與變化課本題，從而達到提煉的效果）

教師：再讓我們來了解一下今年的考試說明. 直線的方程（C級），圓的標準方程和一般方程（C級），直線與圓（B級），要求還是很高的. 圓與后面的橢圓將是我們江蘇第18題產生考題的一塊良土，所以為了能夠很好地解決以上問題，我們還是先請同學們回歸課本P101-P103.

課本例2：求過點A（-1，4）且與圓相切的直線方程;

課本例3：求直線x－y+2=0被圓x2+y2=4截得的弦長.

請預習，然后回答以下兩個問題：

（1）直線和圓有幾種位置關系？如何判斷？（2）課本介紹了哪幾種題型？

學生2：?搖d>r?圳相離?圳Δ<0?搖

（幾何法）d=r?圳相切?圳Δ=0（代數法）

d0

（教師板書，用幾何畫板展示運動過程）

學生3：例2考查了求切線的問題，例3考查了求弦長問題

評析：課本是學生知識的來源地，教師的正確引導與重視教材的態度尤為重要，而且教材往往也是產生考題的一塊熱土，不容忽視.

教師：同學們有沒有覺得這兩道課本題還有點遺憾之處，同學們能否將例2中A點坐標改變一下，對例3反向出一個問題，使之成為易錯題呢？（激起學生的學習興趣）

師生共同完成.

例2變式1:求過點A（ ， ）且與圓C:（x－2）2+（y－3）2=1相切的直線方程；

例3變式：若過點A，5的直線l與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1交于B，D兩點，BD=________時，求直線l的方程；

對例2變式1：學生4：取A（1，4），學生5：取A（1，5），學生6：取A（3，3）……

教師用幾何畫板展示取點過程.

教師：由此可得出什么結論呢？

學生7：過一點作圓的切線的條數情況，可先判斷點與圓的位置關系：點在圓外一定有兩條，若只求出一個k， 則還要考慮有一條斜率不存在，易漏……

對例3變式：學生8：取BD=，學生9：取BD=2……

教師：由此又可得出什么結論呢？

學生10：過一點作圓的割線的條數情況，可先判斷弦長：如果弦長小于半徑一定有兩條，若只求出一個k， 則還要考慮有一條斜率不存在，易漏……

教師：那么弦長又如何求呢？

學生11：d2+2=r2. 其中d為弦心距， l為弦長.

評析：通過學生對課本兩個例題的變化處理，充分調動了學生的主動性，使學生強化了對k不存在的認識及切線、弦長問題的一般處理方法.此時教師只需坐享其成即可，課堂效果顯而易見——高效，較之讓學生死板看例題或做題其優越性不言而喻.

教師：對例2的價值我們還可以再挖掘，問題：例2變式2，求切線短AB的長.

學生12：由AB2+R2=AC2得：AB=3.

教師：例2變式3：若過點A（-1，4）的直線與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1分別相切于點B和點D， 試求四邊形ABCD的面積.

學生13：可轉化為相等的兩個三角形，所以SABCD=2S△ABC=AB.

教師：老師覺得還不夠味，如果將A點放在一條定直線上運動，那又如何呢？（點燃學生的探索欲望，使課堂達到一個高潮）

學生14：4x+y=0，學?搖生15：x=-1……

教師：例2變式4：若過直線l：4x+y=0上任一點A向圓C：（x－2）2+（y－3）2=1引切線且切點分別為B，D

（1）試求四邊形ABCD面積的最小值；

（2）求證：經過A，B，C三點的圓過定點（異于點C）. （學生板書）

圖1

學生16：（1）思路一（代數法）：

（1）設A（x0，－4x0），可得AC2=（x0－2）2+（－4x0－3）2，

所以AB = .

當x0=－=－時， Smin=·.

學生17：（2）思路一（代數法）：證明：因為∠ABC=90°，所以 ·=0. 設B（x，y），?搖可得（x－x0）（x－2）+（y+4x0）·（y－3）=0，所以（－x+4y－10）x0+x2－2x+y2－3y=0.?搖?搖－x+4y－10=0，x2－2x+y2－3y=0?圯x=－，y=，

或x=2，y=3. 因此A，B，C三點的圓恒過H－，.

此時可以請兩位學生分別點評以上兩位學生的解答，同時請問有無其他考慮途徑.

學生18、學生16：最終轉化為函數來求解最值問題，我們還可以通過數形結合的方法來解決.

此時教師不著急讓他回答，而是另外請一位學生，以期達到更好的效果.

學生19：（1）思路二（幾何法）：

由學生13解答可知SABCD=2S△ABC=AB=，所以當AC最小時SABCD有最小值，由數形結合可知AC的最小值即為C點到l的距離，易得：Smin=.

教師：請同學們算一算kCH的值將有何發現？請告訴我.

學生20： 此時學生很容易得出CH與l垂直，由平面幾何知識易得：通過作l的垂線，垂足H即為所求定點.

此時教師可板書求最值問題的一般方法：①代數法;②幾何法; ③利用不等式.求定點問題的一般方法:①代數法（先整理為f（x，y）+mg（x，y）=0然后由f（x，y）=0，g（x，y）=0求出定點）；②幾何法等.

評析：此題的目的是通過學生的板演與學生互評互點、自身實踐，發現問題，從而讓學生深刻體會數與形是一個問題的兩個方面，比較數與形及數形結合的方法來解決問題的優與劣.

3. 高考試題的巧妙處理與研究（深化重點）

教師：下面我們再來研究一下定值問題的處理方法.

如圖2，在平面直角坐標系中，圓O：x2+y2=4，過坐標原點的直線交圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交圓于點B，設直線PA的斜率為k. 對任意k>0，求證：kPA·kPB=－2.

圖2

此題可以課前讓學生預習，然后教師從以下三種解答中選兩種進行板書，還有一種可以用投影展示出來，這樣可以提高課堂容量.

思路一：（利用圓特有的性質：直徑所對的圓周角為直角）

設P（x0，y0），則A（－x0，－y0），C（x0，0），所以kAC==. 因為PB⊥AC，所以kPB=－. 又因為kAP==，所以kPA·kPB=×-=－2.

思路二：（利用點差法，注重式子的結構特征）

證明：設P（x1，y1），B（x2，y2），則C（x1，0），A（－x1，－y1）. 易得kPA=，kPB=.

因為x+y=4，x+y=4，所以（x1－x2）（x1+x2）= －（y1－y2）（y1+y2），變形得=－. 因為kAB=kAC，所以=，所以kPA·kPB=－·2=－2.

（投影，讓生21點評）思路三?搖：（通過設直線，求出點坐標）

設A（xA，yA），P（xP，yP），C（xP，0），設lAP:y=kx. 由y=kx，x2+y2=4 得C，0，A，-.所以kAB===，kPB==－，于是 kPA·kPB=－2.

評析：通過前兩種解答，教師可以提問：結論是否與半徑有關呢？

學生們會很驚訝地發現這是一個定值.

教師：我們知道圓和橢圓是一家，那么推廣到橢圓是否也有類似的結論呢？下面請同學們仿照此題進行改編.

學生22：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1（a>b>0），過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限. 過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B. 設直線PA的斜率為k， 對任意k>0，求證：kPA·kPB為定值.

圖3

學生23：（師生互動）按照思路二的方法易得：kPA·kPB=－.

此時再讓學生看2011年江蘇高考第18題，從而起到畫龍點睛的作用.

教師：那么雙曲線呢？請同學們課后思考，形成結論.

評析：對高考題我們可以加工后再用，本題的處理可謂神來之筆，既激起了學生的探索熱情，又深化了對定值問題的一般處理方法. 通過解決圓中定值問題，讓學生類比到橢圓，再類比到雙曲線，得出一般的結論. 引導學生認識到其中類比到橢圓時解決問題的過程，即2011年江蘇高考18題的求解，從而達到了課堂高潮的最高點. 同時，又為下一節課復習圓錐曲線埋下了伏筆，激起學生們對下一節課探究的興趣與好奇，起到了將課堂延伸到課外的良好效果.

教學評價與反思

1. 立足“教材”，玩弄教材——基礎知識，一網打盡

作為一堂高效的高三一輪復習課，我們既不能簡單地復習知識，更不能讀課本或單純地做題目. 這樣既激不起學生的興趣，也違背了新課程理念.那么如何利用好教材，用出新意，激發學生的積極主動性呢？筆者認為，教師可對教材作一全面的整合，既要源于教材，又要高于教材. 而大多數的教師并沒有利用好教材，更沒有讓學生親歷知識的發現、檢驗與論證的過程，而是采用變相灌輸的方式，促使學生記住結論，然后用之即可，久而久之，學生便覺得無味、也無趣. 這就要求教師從備書本與備教材做起，備好教材是搞好教學的基礎，教師只有深入鉆研教材，精心設計課堂教學，才能取得良好的教學效果.

2. 立足“學生”，突出主體——盡顯純天然課堂

作為一節高三復習課，如何調動學生的主動性，提高教學的有效性、高效性，是我們每個教師都必須為之思考的問題.在高三復習課中，普遍存在的問題是對學生的不放心，進而導致教師一人講課精彩，滿堂灌. 長此以往，效率低下，學生厭學. 教師的教學行為要投學生所好，貼近學生的真實思維過程. 教師可設計適當的“鋪墊”，讓學生在現有學習能力下，完成從感性認識到理性認識的飛躍. 本節課充分體現了新課程的要求，從課本出發，以及學生實際出發，讓學生自主發現，參與變式、歸納、類比、總結，讓學生自覓知識，自悟性質，人人參與，從而達到了 “教”是為了“不教”的理想教學境界.

3. 立足“高考”，突出目標——精確擊破各個重難點

高考是學生基礎教育階段的目標之一，是檢驗學生的一個有效手段. 讓學生了解高考題，掌握高考重難點，是為了讓其更好地適應高考，所以在高三復習中，教師可根據實際情況選擇有針對性的高考題，不失為一劑良藥. 既有助于學生對知識的深刻理解，也能提高學生的學習興趣與欲望. 高考題是經過專家錘煉而成的，教師可對其拓展、推廣，課堂效果將會不言而喻，這對教師也提出了更高的要求.

當然，教無定法，教學相長，作為新一代的人民教師，我們肩上的責任尤為重大. 如何能夠更好地面對新時代的中學生，讓其適應時代的發展需要，這是一個重大的課題. 筆者希望以此文章能夠激起各位同仁加入其中，相互學習，共同探索和研究高效的數學課堂.