變式訓練,思維創新的搖籃

摘 要：本文從2009年全國高考卷I的一道向量高考試題聯想到解決向量問題的常規通俗的解決方法即代數法和幾何法，挖掘和探索高考試題的解決途徑，探討向量問題的一題多解和變式訓練，并在解決問題的過程中訓練和培養學生的創新思維，提升學生的思維品質.

關鍵詞：向量；變式；教學

在平時的教學中我們會發現許多有價值的題目，教師不能就題論題，而應認真挖掘題目的豐富內涵和背景，通過對一個有價值的基本問題，變換問題的條件、結論、設問方式等可以有效提升學生的思維品質，激發學生的探索興趣，有利于培養學生的學習積極性，活躍課堂氛圍.

下面僅以在高三復習時作業中出現的一道高考題為例進行闡述.

原題（2009全國I）：

已知a=b=1，a·b=0，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則c的最大值是________.

注重一題多解，有效激活學生思維的靈活性

一題多解，即一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，提高學生的發散思維能力和分析問題、解決問題的能力. 在講評中，教師可啟發、誘導學生從不同的角度去思考，多方探求，擇優選解，培養學生的創新意識和創新思維能力.

法一：“代數法”.

設a+b與c的夾角為θ，

又a+b==，由（a-c）·（b-c）=0得

c2=（a+b）·c=a+b·c·cosθ=·c·cosθ≤c，解得0≤c≤，所以c的最大值是.

點評：利用數量積的定義以及cosθ≤1進行放縮，進而得出關于c的不等式.

法二：“解析法”

設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），由（a-c）·（b-c）=0，得x－2+y－2=，即滿足條件的c的終點在該圓上. 又c即是圓上的點與原點間的距離，故cmax=.

點評：利用數量積的坐標表示及解析幾何的思想把向量c的軌跡表示出來.

法三：“幾何法”

如圖1，設=a，=b，=c，由（a-c）·（b-c）=0得·=0，即CA⊥CB. 所以C點軌跡是以AB為直徑的圓. 所以cmax=max=

評析：此題中a，b兩個向量比較特殊，都是單位向量，而且垂直. 如果a，b不是單位向量而且不垂直會如何呢？另外，解此題的關鍵是如何用好（a-c）·（b-c）=0這個條件. 在講評作業時筆者對此題進行了如下變式，和學生一起探討.

注重變式練習，有效激活學生思維的發散性.

變式1：已知a=2，b=2，a·b=2，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則c的最值是________.

學生一：“代數法”. 設a+b與c的夾角為θ，

又a+b===4，由（a-c）·（b-c）=0得

c2=（a+b）·c－2=a+b·c·cosθ－2=4·c·cosθ－2≤4c－2，

所以c2－4c+2≤0，解得2－≤c≤2+.

所以c最大值為2+，最小值為2－.

學生二：“幾何法”. 如圖2，設=a，=b，=c，由（a-c）·（b-c）=0得·=0，即CA⊥CB. 所以C點軌跡是以AB為直徑的圓. 設圓心為D，半徑為R，AB=2R=a－b==2，所以R=. 所以cmax=OD+R=2+，cmin=OD－R=2－.

通過計算此題，發現只要已知a，b，a·b且向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，就可以求出c的最值.還發現a－b=b，故進行如下變式：

變式2：已知a=2，a－b=b=2，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則c的最大值是________.

解法同變式1.

變式3：已知a=1，a－b=b，向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，若對每一確定的b，c的最大值和最小值分別為m，n，則對任意的b，m－n的最小值是________.

法一：如圖3，設=a，=b，=c，

由（a-c）·（b-c）=0得·=0，即CA⊥CB. 所以C點軌跡是以AB為直徑的圓. 設圓心為D，半徑為R，則AB=2R=a－b，cmax=OD+R=m，cmin=OD－R=n. 所以m－n=2R=AB. 求m－n的最小值，即求AB=a－b的最小值. 由圖知，當b=a，即B為OA中點時，ABmin=. 以m－n的最小值為.

法二：設=a，=b，=c.

令a=（1，0），因為a－b=b，即OB=AB，所以B，y0.

設c=（x，y），則a－c=（x－1，y），b－c=x－，y－y0.

由（a-c）·（b-c）=0得，x-2+y-y02=y+. 所以C點軌跡是以，y0為圓心，以=為半徑的圓. 設圓心為D，半徑為R，

則m-n=2R=，所以當y0=0時，m－n取得最小值.

變式4：

已知a=b=2，c=1且向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則a－b的取值范圍是________.

法一：“代數法”

令a+b與c的夾角為θ，由（a-c）·（b-c）=0得

c2=（a+b）·c－a·b=a+bccosθ－a·b≤a+b－a·b

即1≤a+b－a·b=－a·b=－a·b，即

1+a·b≤. 兩邊平方得1+2a·b+（a·b）2≤8+2a·b，所以（a·b）2≤7，即

－≤a·b≤.

于是a－b==∈，=［－1，+1］.

法二：“幾何法”

=a，=b，=c，令=a，=b，=c，則==2，=1. 設AB中點為D，以AB為直徑的圓D的半徑為R，則OD=，OC=1，CD=R，

所以OC+CD≥OD，OC+OD≥CD，OD+CD≥OC， 即

1+R≥，1+≥R，+R≥1，

解得AB=2R∈［－1，+1］.

法三：

如圖5，==2，=1，∠ACB=90°，即求線段AB長度的最大值.

設D（x，y）為AB中點，

則OD2+CD2=OB2=4，

可得D點的軌跡方程為x－2+y2=.

易得CDmax=，CDmin=.

又AB=2CD，

所以AB∈－1，+1.

對一道試題適當的變式、延伸、拓展，不僅能提高學生的應變能力、探索能力，還能激發學生的思維的廣闊性、發散性. 使學生從不同的角度去觀察問題、思考問題，從而提高學生思維過程的整體性、嚴密性，培養學生的綜合素質. 當然，變式的前提是教師對試題本身進行深入思考和挖掘. 一般地，可在評講完一道題之后，向學生提出幾個問題或讓學生自己提出變式，讓其思考能否推廣，引導學生掌握解這類題的一般規律與方法，觸類旁通，提高學生的應變能力.

總之，教師在進行例題、習題的教學時，必須充分重視其潛在的數學功能，通過提出類似的問題和解答這些問題，擴大解題的“武器庫”，以激發學生的學習興趣，使學生的探究能力和創新能力得到發展.變式訓練有利于培養學生觀察、聯想、轉化、探索的思維能力，有利于培養學生多向發散的思維能力，有利于培養學生正確概括、歸納的思維能力. 變式訓練的最終目的是培養學生的創新思維.