新課標(biāo)“更相減損術(shù)”的解讀與思考

摘 要：算法是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》新增內(nèi)容之一，作為高中數(shù)學(xué)新課改的必修內(nèi)容，并提出“通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)”的要求． 由湖南教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)第五冊(cè)（以下簡稱課本）第11章“算法初步”中，介紹了我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”． 下面是筆者在教學(xué)中對(duì)“更相減損術(shù)”的解讀與思考．

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；更相減損術(shù)；輾轉(zhuǎn)相減法；輾轉(zhuǎn)相除法；

“更相減損術(shù)”的由來

1. 對(duì)古代名著原文的解讀

筆者查閱《九章算術(shù)》“方田”章的第六題原文：

“又有九十一分之四十九．問：約之，得幾何？答曰：十三分之七．”

約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之．

《九章算術(shù)》是以算籌為算具的數(shù)學(xué)書，現(xiàn)將上述算題作籌算圖式，以幫助我們領(lǐng)會(huì)“更相減損術(shù)”術(shù)文的真實(shí)含義．

由此可見，“更相減損術(shù)”是一個(gè)分?jǐn)?shù)化簡為既約分?jǐn)?shù)的算法．翻譯為現(xiàn)代語言如下：

第一步：任意給定分?jǐn)?shù)（m，n為兩個(gè)正整數(shù)）；判斷m，n是否都是偶數(shù)． 若是，用2約簡；若不是，才執(zhí)行第二步．

第二步：對(duì)分子和分母輾轉(zhuǎn)相減，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減去小數(shù)． 繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止．

第三步：以等數(shù)約之，可得到（最簡）既約分?jǐn)?shù)．

2. “更相減損術(shù)”是一種算法

但是課本上說更相減損術(shù)是計(jì)算兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的算法，有待商榷． 如果我們利用古代原著更相減損術(shù)的計(jì)算步驟來計(jì)算下面這個(gè)例子，則得出矛盾．

例1 利用更相減損術(shù)計(jì)算18與12的最大公約數(shù)．

解：第一步：由于18與12均為偶數(shù)，用2約簡得到9和6；

第二步：把9和6以大數(shù)減去小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，直到所得到的數(shù)相等為止． 過程如圖2所示．

所以，18與12的最大公約數(shù)為3（等數(shù)）． 這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果．

這一例子說明課本對(duì)“更相減損術(shù)”術(shù)文的理解有些問題，因此，我們得出結(jié)論：“更相減損術(shù)”并不是求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法，而是一個(gè)分?jǐn)?shù)化簡為既約分?jǐn)?shù)的算法．

“更相減損術(shù)”的更新

1. 對(duì)古代名著原文的改進(jìn)

我們知道，分?jǐn)?shù)化簡與求最大公約數(shù)是密不可分的． “更相減損術(shù)”中的“副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也”，當(dāng)省去“可半者半之，不可半者”就是求兩個(gè)整數(shù)最大公約數(shù)的算法，我們不妨稱之為“輾轉(zhuǎn)相減法”．

翻譯為現(xiàn)代語言如下：任意給定兩個(gè)正整數(shù)，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，仍以大數(shù)減去小數(shù)． 繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)．

例2 求18與12的最大公約數(shù)．

解：由下述輾轉(zhuǎn)相減過程可得18與12的最大公約數(shù)為6．

解：我們類似《九章算術(shù)》的籌算推演過程來表述輾轉(zhuǎn)相減法的操作步驟

所以，98與63的最大公約數(shù)等于7．

2. “輾轉(zhuǎn)相減法”原理的證明

我們進(jìn)一步思考，為什么通過輾轉(zhuǎn)相減，最后那個(gè)等數(shù)就是這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)呢？

不難發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)就是“初等數(shù)論”中的一些原理．下面，我們從理論出發(fā)，著重來證明利用“輾轉(zhuǎn)相減法”求正整數(shù)a和b的最大公約數(shù)．

證明：設(shè)a和b的最大公約數(shù)（a，b）=d，則a=a1d，b=b1d，顯然a1和b1互素，即（a1，b1）=1． 不妨令a>b，所以a－b=（a1－b1）d，進(jìn)一步得到a1－b1，a1，b1兩兩互素． 若不然令（a1－b1，a1）=d1>1，則d1a1，d1（a1－b1），得到d1b1，與（a1，b1）=1矛盾． 現(xiàn)在a和b的最大公約數(shù)可以轉(zhuǎn)化為b和a－b的最大公約數(shù)，由上面論證b=b1d，a－b=（a1－b1）d，（a1－b1，b1）=1；若（a1－b1）d=b1d，即a1－b1=b1時(shí)，算法結(jié)束． 由（a1－b1，b1）=1得到a1－b1=b1=1，則a和b的最大公約數(shù)為最后的等數(shù)d；若（a1－b1）d≠b1d，即a1－b1≠b1，可繼續(xù)作減法，重復(fù)上述過程，直到出現(xiàn)等數(shù)d為止． 由于a，b都是有限數(shù)，所以在有限步減法后一定能出現(xiàn)相等的數(shù)d，證畢．

“更相減損術(shù)”的拓展

1. “輾轉(zhuǎn)相減法”的演變

我們寫出用“輾轉(zhuǎn)相減法”求7267與6192的最大公約數(shù)的籌算推演過程，發(fā)現(xiàn)書寫很復(fù)雜，能不能簡化？按減去相同的數(shù)的步驟合并書寫可得簡潔一些的表示形式：

我們不妨將上述過程用等式表示：

7267－6192×1=1075，即7267=6192×1+1075，

6105－1075×5=817，即6105=1075×5+817，

1075－817×1=258，即1075=817×1+258，

817－258×3=43，即817=258×3+43，

258－43×5=43，即258=43×5+43（帶余除法要求寫為258=43×6+0）．

觀察右邊一系列等式，你得到了什么規(guī)律？

我們首先是用7267和6192中的較小數(shù)除較大數(shù)，得商為1，余數(shù)為1075；然后將前一步驟的除數(shù)作為被除數(shù)，余數(shù)作為除數(shù)，再作帶余除法求余數(shù)；繼續(xù)重復(fù)上述步驟，直到余數(shù)等于零為止，最后一式的除數(shù)就是“輾轉(zhuǎn)相減法”的“等數(shù)”，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)． 這種求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法就是“輾轉(zhuǎn)相除法”．

2. “輾轉(zhuǎn)相除法”原理及步驟

“輾轉(zhuǎn)相除法”，又叫做“歐幾里得算法”，是公元前300年左右的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在他的著作《幾何原本》中提出的． 利用這個(gè)方法，可以較快地求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)（greatest common divisor，簡寫為gcd；或highest common factor，簡寫為hcf）．

利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商q0和一個(gè)余數(shù)r0；

第二步：若r0=0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個(gè)商q1和一個(gè)余數(shù)r1；

第三步：若r1=0，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個(gè)商q2和一個(gè)余數(shù)r2；

……

依次計(jì)算直至rn=0，此時(shí)所得到的rn-1即為所求的最大公約數(shù)．

古希臘的“輾轉(zhuǎn)相除法”是中國古代“輾轉(zhuǎn)相減法（更相減損術(shù)）”的一個(gè)簡潔表示的形式，它們?cè)诶碚撋鲜且恢碌模?明顯看出，“輾轉(zhuǎn)相減法”和“輾轉(zhuǎn)相除法”都是求最大公約數(shù)的方法． 從計(jì)算上看，輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯；從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到．

“更相減損術(shù)”的人文價(jià)值

“更相減損術(shù)”出自西漢末年的《九章算術(shù)》，是當(dāng)時(shí)中國古代數(shù)學(xué)優(yōu)秀的算法之一．《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)． “更相減損術(shù)”蘊(yùn)涵了豐富的算法思想，現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展使古老的算法煥發(fā)了前所未有的生機(jī)和活力，是中國古代數(shù)學(xué)思想在一個(gè)新的層次上的復(fù)興． 古代算法的作用重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，同時(shí)它較之現(xiàn)代數(shù)學(xué)仍發(fā)揮了很大的作用，更相減損術(shù)在現(xiàn)代仍有理論意義和實(shí)用價(jià)值． 吳文俊教授說：“在我國，求兩數(shù)最大公約數(shù)即等數(shù)，用更相減損之術(shù)，將兩數(shù)以小減大累減以得之，每次所得兩數(shù)與前兩數(shù)有相同的等數(shù)，兩數(shù)之值逐步減少，因而到有限步后必然獲得相同的兩數(shù)，也即所求的等數(shù)．” 吳先生的話不僅說明了此法的理論價(jià)值，而且指明學(xué)習(xí)和研究的方向． 更相減損術(shù)很有研究價(jià)值，它奠定了我國漸近分?jǐn)?shù)、不定分析、同余式論和大衍求一術(shù)的理論基礎(chǔ)． 通過給學(xué)生上述相關(guān)的信息讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)古代算法更重要的是把握它的精髓，發(fā)揮并運(yùn)用其精華之處并進(jìn)一步發(fā)展它． 在引導(dǎo)學(xué)生時(shí)既不避諱它的短處，更要發(fā)揚(yáng)它的精髓．

結(jié)束語

“更相減損術(shù)”是中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，我們從中感悟到中國數(shù)學(xué)的機(jī)械化算法思想及其對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，領(lǐng)略到中國古代數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)算法的影響． 通過更新與拓展“更相減損術(shù)”的過程，對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)了有條理地、清晰地表達(dá)解決問題的步驟，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力與表達(dá)能力，發(fā)展從具體問題中提煉算法思想的能力，這正是新課標(biāo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種基本要求．