一道高三模擬題的講評課的設計

摘 要：高三數學的試卷講評課應該做到：對典型的問題，必須引導學生提煉、歸納，以期上升為宏觀的解題策略；課堂需適當留白，讓學生自主探究，以激發、點燃學生求知的欲望；重點知識、重要方法要通過變式反復強化和鞏固，以期進入到審題、解題的快速通道．

關鍵詞：宏觀的解題策略；自主探究；提煉；歸納；變式

題： 設A1，A2與B分別是橢圓E：+=1（a>b>0）的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2+y2=1相切．

（1）?搖求證：+=1；

（2）?搖P是橢圓E上異于A1，A2的一點，直線PA1，PA2的斜率之積為－，求橢圓E的方程；

（3）?搖直線l與橢圓E相交于M，N且·=0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．

這是2012年江蘇南通市高三期末調研測試的第18題，筆者參與本題閱卷工作，學生對（2）（3）問的解答不盡如人意，主要存在如下的問題：

①知識有缺陷，概念不清：如直線的截距式方程、點到直線的距離公式、向量的數量積等等；

②解題缺乏宏觀的策略指引：解題方向不清、思維零亂，不能直達目標、一劍封喉．

③運算能力薄弱：運算煩瑣，特別是字母運算不能駕輕就熟．

其實，本題的解法很典型，母題分散在教材各個章節的習題或練習中，（2）是點差法，（3）是斜率參數韋達定理法． 考慮到本題是內涵豐富又有一定背景的試題，所以筆者決定以它為例，對它豐富的內涵和背景進行針對性講評，以發揮該試題的更大作用，拓展學生的知識視野，發展學生的思維能力． 經過反復思考和準備，決定一改以前高三數學試卷講評課的風格，引導學生來一次探究、歸納和整理． 于是有了如下的講評思路．

試題講評與定理歸納

原題（2）講解過后，請學生思考：

問題1，P是橢圓上異于A，B的一個動點，則直線PA，PB的斜率之積是常數嗎？結果是什么？由學生自己歸納，并說明理由，為了敘述方便，下面用定理的形式表達．

定理1：點A，B是過橢圓+=1（a>b>0）中心的直線與橢圓的兩個交點，P是橢圓上異于A，B的一個動點，則直線PA，PB的斜率之積為常數－．

學生簡證：設A點坐標為（x0，y0），P點坐標為（x，y），則B點坐標為（-x0，-y0），

+=1 （1）+=1 （2） 由（1）（2）得：

+=0，+=0，

+=0，

即kPAkPB=－．

教師點評：證法的本質是點差法．

問題2：第3問在一般情況下，a，b，r滿足什么條件？以下由學生歸納并說明理由．

定理2：已知橢圓E：+=1（a>b>0），作圓C：x2+y2=r2的切線l與橢圓E相交于M，N，∠MON=90°恒成立的條件是+=．

學生解答：（1）若直線的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+m.

l與圓C：x2+y2=r2相切，所以=r，所以m2=r2（1+k2），將l的方程代入+=1得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2－a2b2=0，x1+x2=－，x1x2=.

x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=－+m2=0，

（1+k2）（a2m2－a2b2）－2k2m2a2+m2（b2+a2k2）=0，a2m2－a2b2+a2m2k2－a2b2k2－2k2m2a2+m2b2+m2a2k2=0，a2m2－a2b2－a2b2k2+m2b2=0，（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）． 圓心到直線l的距離d=====r．

老師點評：以上方法是典型斜率參數韋達定理法．還有別的方法嗎？

問題3：我們學過三角函數坐標定義，能不能用三角函數設出橢圓上夾角是直角的兩點，再求出原點到該直線的距離？

有學生設出一組M（acosθ，bsinθ），N（－bsinθ，acosθ），經檢驗它們垂直，但第二點不在橢圓上，經過很長時間等待，并在教師的提示、引導分析，幫助下，終于有學生提出如下設法：

學生A：設M（r1cosθ，r1sinθ），因∠MON=90°，可設N（－r2sinθ，r2cosθ），

代入橢圓方程得+=，+=，+=+，由面積公式r=r1r2，=+=+．

問題4：對于定理1、定理2，如果將橢圓改成雙曲線有怎樣的結果？

經過學生的運算很快有人得出如下結論：

定理3：點A，B是過雙曲線-=1中心的直線與雙曲線的兩個交點，P是橢圓上異于A，B的一個動點，則直線PA，PB的斜率之積為常數．

定理5：已知雙曲線E：-=1（b>a>0），作圓C：x2+y2=r2的切線l與雙曲線E相交于M，N， 若-=，則∠MON=90°．

對于定理5，有一個學生模仿定理2的三角解法居然給出了如下解法：

設M（r1cosθ，r1sinθ），因∠MON=90°，可設N（－r2sinθ，r2cosθ），

代入雙曲線方程得－=，－=，兩式相加+=-，由面積公式得r=·r1r2，=+=－．

令人驚喜，叫絕，難道讓學生自主探究有這么大魔力，能力可以這樣培養？學生在品嘗成功的喜悅，筆者在收獲著快樂． 筆者再一次相信著名教育家蘇霍姆林斯基說過的話：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者．我們老師就做一個激勵、喚醒、鼓舞角色便好！

幾個高考試題的例證

本環節利用投影打出幾個高考試題，目的是使學生理解圖形的結構特征，并熟記兩個結論，形成解題模型和宏觀的解題策略． 只要學生簡要說出結果，和解題思路就行了．

例1 （2011江蘇高考第3問）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k，對任意k>0，求證：PA⊥PB．

圖1

學生簡答：觀察圖形結構，P與A關于原點對稱，B是橢圓是異于它們的另一點，則有

kABkPB=－=－． 設P點坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），則A點坐標為（-x1，-y1）， C點坐標為（x1，0），則

kPB=，kAB==kAP，帶入

kABkPB=－，即kPAkPB=－，

kPAkPB=－1，所以PA⊥PB．

例2 （2009山東高考理科部分）

設橢圓E：+=1（a，b>0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標原點，

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B且⊥？若存在，寫出該圓的方程．

投影出以上題目，請學生分析，很快有學生得出結論．

學生簡答：該題背景就是定理2的模型，易得橢圓E的方程為+=1，

=+=+=，r2=.

綜上， 存在圓心在原點的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥．

例3 （2009北京高考理科）

已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的離心率為，右準線方程為x=．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設直線l是圓O：x2+y2=2上動點P（x0，y0）（x0y0≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明：∠AOB的大小為定值．

學生簡答：該題背景好像是定理4的，易得所求雙曲線C的方程為x2－=1．

=－，滿足－=，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，∠AOB的大小恒為90°．

方法升華與實踐提高

為了鞏固以上模型方法，筆者將關于原點對稱的點保持不變，橢圓上另一點變換到與x軸垂直的直線上，又提出如下問題讓學生思考，

問題5：點A，B是橢圓+=1（a>b>0）左、右頂點，S是橢圓的動點，連結SA，SB，分別交直線x=t（t為常數，且t≠a）于點M，N，設M，N的縱坐標分別為y1，y2，則①y1·y2為常數________，

②以M，N為直徑的圓恒經過定點________，

③線段M，N長度的最小值為_____．

學生活動探究：由AM，BN的斜率的積為常數－，很快得到

①－（t2－a2），②t±，0，③．

圖2

問題6：點P，Q是橢圓+=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個動點，B是橢圓的右頂點，連結BP，BQ，分別交直線x=t（t為常數，且t≠a）于點E，F，設E，F的縱坐標分別為y1，y2，

則①y1·y2為常數________，

②以E，F為直徑的圓恒經過定點________，

③線段EF長度的最小值為_______．

學生活動探究：同學們經過運算：也能很快能算出①－（t－a）2，②t±（t－a），0，③（t－a）．

一堂試卷評講課講完了，總的感覺學生在課堂上很興奮，情緒高漲，躍躍欲試，都感覺自己好像發現了什么，筆者也很興奮，感嘆原來試卷講評也可以這樣設計、這樣講！

筆者覺得高三試卷講評課有這樣幾點必須做到：

（1）對一些含有典型結構的問題，必須引導學生提煉、歸納，得出一般結論，以期上升為宏觀的解題策略．

（2）課堂需適當留白，讓學生自主探究，以激發點燃學生求知的欲望．

（3）重點知識、重要方法要通過變式反復強化和鞏固，以期進入到審題、解題的快速通道．

總之：一堂好的講評課，并非以講解完試卷上的所有試題為終結，而是要充分利用好試題以及學生在解題中出現的問題，引導學生做進一步的反思與探索，以擴大試卷講評的戰果，提高講評課的效率．