合情推理模式在數列習題教學中的價值

摘 要：不少省市進行新課改已經多年了，無論是對教材內容還是對教師在教學中所扮演的角色都較以往有了很大的改變． 如蘇教版引入了合情推理及演繹推理這一章，筆者就這一章的引入的意義認真做了思考，以及如何在數列教學中挖掘合情推理模式即在以后教學中的此價值如何運用做了較為深刻的探索．

關鍵詞：合情推理；數列；歸納類比

美國著名的數學家數學教育家G·波利亞說過：“創造的過程是一個艱苦曲折的過程，數學家創造性的工作是論證推理即證明，但這個證明是通過合情推理而發現的．” 不少省市進行新課改已經多年了，無論是在教材還是教法上和以前傳統的教育教學有了很大的改變．從教材的角度來看，新教材在去掉舊教材諸多繁冗的知識點之外，又引入了一些新的章節，如算法、導數、推理證明等等． 對這種在教材內容上的重大改革，開始之初非議之聲不絕于耳． 很多反對之聲不乏著名的數學教育者及教師，尤其是談到推理與證明這一章時不少人認為這一章是沒有必要的，認為我們平時在做題、講題時不就在用它嗎，感覺這一章的引入是多此一舉． 筆者認為不然，想想遠古人類第一次用火做飯烤肉時，有多少人能夠明白生火的原理所在呢？筆者恰恰認為這是新課改在教材改革上的重大飛躍之一，從知識傳授轉而向方法上的傳授． 在數學的教育教學中應當灌輸方法論的教育． 筆者在進行數列習題教學中，在這一方面作了一些探討，下面就以用兩個案例來展示筆者在習題教學上的一些實際操作．

案例1：已知數列｛ａn｝的前n項和Sn滿足Sn=n2+bn（b為常數），且對于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k成等比數列，數列的前n項和為Tn（n∈N*）．

（1）求數列｛ａn｝的通項公式．

（2）求使不等式Tn<成立的n的最大值．

（3）試求出所有的正整數m，n（2

教學分析：筆者通過教學設計了一段師生之間理想式的談話．

學生：第1問比較簡單，已知數列的前n項和Sn求數列通項公式an只需用遞推式an=S1，n=1，Sn－Sn-1，n≥2 推出an=2n+b－1；然后根據恒等式?坌k∈N*，a=ak·a4k得b=1，則有an=2n；至于第1問那就更為熟悉了，因為數列｛ａn｝是等差數列，所以對于數列的前n項和用裂項相消法即可，推算出Tn=；

教師：第一問和第二問處理起來相對容易些，因為所涉及的知識點相對熟悉些，我們在平時的復習中也進行過類似的訓練，那么對于第3問我們應當如何處理？這樣的問題我們熟悉嗎？

學生：這個問題平時我們在數列學習中不太熟悉，但是根據題目的條件T2，Tm，Tn成等比數列，能列出相應的等式T=T2·Tn；即有2=，稍微處理一下得=；下面該如何處理就不得而知了？

教師：不可否認從知識點的角度來看我們已經盡力了，不能夠繼續進行的緣故是相應方法或者知識點的缺失． 我們對于這種類型的推理題該如何處理？其解決手段在選修課本中做了一些介紹，如合情推理與演繹推理，對于這兩種形式的推理方式相應的作用就不必多說了，簡單地來說合情推理是發散的思維模式，有助于我們發現解決問題的方法；演繹推理是收斂的思維模式，能夠幫助我們得出正確的結論！

學生：對于這樣一道推理題我們應當用什么樣的合情推理來發現這一問題的解決呢？是歸納還是類比呢？

教師：問得很好！我想我們不妨兩個角度都試一下，不過我突然想起現實生活中的有趣的事例，不妨試著去類比看看． （囚徒論）說有一位警察抓住了兩個犯罪嫌疑人，想通過對他們的審訊交代自己所犯的罪行，如果你是那位警察該從怎樣的空間、怎樣的人物開始下手呢？

學生：我想應該先把兩個犯罪嫌疑人分開即將其開關在不同的房間里，然后從他們中關系最簡單、相對單純的犯罪嫌疑人開始下手．

教師：（全班一陣歡笑）將他們分開關閉使他們信息分隔，有利于從心理將其一一擊破，從最簡單開始先審訊相對單純的犯罪嫌疑人也似乎是合情合理的． 現在看看我們這道題的第3問所得的等式吧：=；如果我們將m，n看成是我們抓住的兩個犯罪嫌疑人，從等式的角度來看m，n已經被關在不同的房間了． 現在我們要開始“逼供”了，請問先審m還是n呢？讓誰先交代？

學生：當然是n啦．因為n看起來簡單多了，可以先對n下手逼著它先交代m是誰？（全班又是一陣大笑）

教師：通過怎樣的方式怎么讓n交代呢？

學生：先將等式右邊常數24移到左邊去，即得到=；然后從等式的右邊開始對n進行這樣處理=<1；這樣把等式轉化為關于m的不等式即有m2－4m－2<0；通過計算從而得到2－2且m∈N*，所以m只能取3和4了；然后將m=3，4分別代入原式得n=，24；所以最后結果是m=4，n=24；這道看似無從下手的推理題就這樣自然解決了．

從上述案例中可知這道題解決的靈感來源于我們現實生活中的有趣的案例，事實上我們社會生活中有很多科技產品發明不少都是從其他自然界類比而產生的． 下面給出的數列習題的案例從另一種角度發現解題的思路，即從歸納推理的角度給出思路．

案例2：設｛an｝是公差不為零的等差數列，Sn為其前項和，滿足a+a=a+a，S7=7．

（1）求數列｛an｝的通項公式及前n項和Sn；

（2）試求所有的正整數m，使得為數列｛an｝中的項．

教學分析：同樣筆者通過教學設計了一段師生之間理想式的談話．

學生：第1問相對較簡單，只是涉及數列基本量計算，設首項為a1，公差為d代入所給的兩個等式a+a=a+a，S7=7中去就可以了．

教師：直接這樣做對于第一個等式可能麻煩一些，不妨將其轉化成a－a=a－a，即有（a2+a5）（a2－a5）=（a4+a3）（a4－a3）． 由性質得－3d（a4+a3）=d（a4+a3），因為d≠0，所以a4+a3=0，即2a1+5d=0．

學生：這樣做法確實不錯，運算上簡化了，又由S7=7得7a1+d=7，這樣算出a1=－5，d=2，所以數列｛an｝的通項公式為an=2n－7，前n項和Sn=n2－6n．

教師：現在我們可以將精力放在對第2問的思考上，怎么辦？對于式子打算怎么辦？

學生：我們可以先將式子等價轉化為，判斷此數是否為數列｛an｝中的項，只要看式子能否寫成2n－7的形式，即尋求滿足條件的正整數m，n使等式=2n－7成立．

教師：對上述等式能否像上一案例那樣去尋求解題的思路呢？

學生：（學生思考）好像不行，對n處理不能將其等式放縮，無法將其等式轉化為不等式．

教師：我們要明白有關此類數列的推理題，思維不能只局限在一個小圈圈內，如果實在想不出具體的方案那就先猜猜吧！從簡單的開始比方說m=1，2，3，4，5，6…試試吧？

學生：認真計算發現m=1，2，3，4，5，6時相應項的值分別為－15，3，－，，，；經過仔細判斷六個數中只有m=2時符合要求，即m=2時等式為3，算出此數為數列｛an｝中的第五項．

教師：除此之外，難道我們就沒有別的收獲了嗎？要明白此等式為數列｛an｝中的項首要條件必須是整數才行．

學生：哦！明白些了，我發現從m=3，4，5，6也許往后的數都是分數吧！好像我們應該來說明這一點才對．不錯！應該是這樣的！

教師：很好！這確實是一個不錯的點子．該如何說明這一點呢？等式要成為整數該滿足怎樣的條件？

學生：首先要將等式寫成這樣的形式為好即，為了便于書寫不妨令2m－3=t，從而==t+－6，所以t為8的約數，因為t是奇數，所以t可取值為±1，當t=1，m=2符合要求．t=－1，m=1時不符合要求．所以滿足條件的正整數m=2．

上述案例從另外一個角度即歸納推理的方式給出了如何解決此類數列問題的思維模式． 筆者以為合情推理尤其是歸納、類比推理模式在發現問題、解決問題中扮演著重要的角色． 作為一名數學教師應當在今后的數學教育教學中將此類推理模式的理念深深地扎在學生的心中． 總之一句話，教師應當做到授人以魚，不如授人以漁的職業規范．