公式推導可以簡單化嗎

摘 要：數學公式是數學學習的重要內容，其掌握的程度直接影響學生對數學概念的理解和數學理論的應用． 本文從兩個教學案例探討了如何進行數學公式的推導及它在教學中的重要性．

關鍵詞：數學公式；推導；教學

數學公式是數學命題的重要組成部分，是數學學習的重要內容，其掌握的程度直接影響學生對數學概念的理解和數學理論的應用． 對公式的理解必須從數學的認知特征以及學生學習心理出發，促進學生對數學公式和法則的學習及其意義的內化． 但一些教師不注重公式的推導或者推導不到位，導致學生對所學的公式一知半解，沒有弄清楚公式的來龍去脈，應用起來只會生搬硬套，不能理解掌握這些數學公式的結構特征、推導過程，更不能理解滲透在這些公式、定理中的數學思想與數學方法，從而嚴重影響了他們對數學知識的掌握和數學能力的形成． 教師應充分關注公式教學，注重公式的推導過程．本文結合教學實踐談談對公式推導的一點體會．

“點到直線的距離”公式的推導

已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0，如何求點P0到直線l的距離？

人教版《數學2》P106分析了最普通的思路：設點P0到直線l的垂線段為P0Q，垂足為Q，由P0Q⊥l可知，直線P0Q的斜率為（A≠0），根據點斜式寫出直線P0Q的方程，并由l與P0Q的方程求出點Q的坐標；由此根據兩點距離公式求出P0Q，得到點P0到直線l的距離為P0Q．?搖

課本說“上述方法雖然思路十分自然，但具體運算較繁．” 既然思路十分自然，那應該是一種好的解法，

不能因為計算煩瑣而被放棄，本節的重點是公式的推導，花一定的時間和精力來推導此公式是值得的，由已知可以得到直線P0Q的方程是y－y0=（x－x0），解方程組得到垂足Q，，進而求出垂線段的長P0Q=．

1． 改進

上述解法有一定的計算量，這時要引導學生進行優化，由兩點距離公式的P0Q=得到啟發，是否可以用整體的思想求出呢？讓Q點坐標“設而不求”，把直線P0Q的方程寫成B（x－x0）－A（y－y0）=0 ①，直線l的方程Ax+By+C=0寫成A（x－x0）+B（y－y0）= －Ax0－By0－C ②，由①②兩式平方和得（A2+B2）［（x－x0）2+（y－y0）2］=（Ax0+By0+C）2，即P0Q=． 《想法是怎樣形成的》一文介紹有九種解法，把點到直線的距離問題轉化為我們熟悉的問題：轉化為解直角三角形問題、求三角形的高、求兩點的距離、求線段的最小值、求數量積、求兩平行線間的距離、求原點到直線的距離、求直線與圓相切的問題．

2． “橢圓標準方程”的推導

人教版選修2-1P39先由橢圓的定義得P=｛M|?搖MF1+MF2?搖=2a｝，即得+=2a（2a>2c）①，

化簡成（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）②，

再由橢圓的定義可知，2a>2c，即a2－c2>0，令a2－c2=b2（b>0），

得到+=1（a>b>0）③．

從邏輯上講，上述過程無懈可擊，但學生會認為，為什么要令a2－c2=b2（b>0），僅僅是為了使方程變得簡潔優美嗎？教學設計要利用“學生的最近發展區”，引導學生自己去提出問題、解決問題． 為此，我們可以這樣設計：將圓x2+y2=a2（a>0）沿縱向“壓扁”得到橢圓，圓的方程可以寫成+=1（a>0），（幾何畫板演示“壓扁”的過程），請對照圓和橢圓與坐標軸的四個交點的坐標，你能猜想橢圓的方程嗎？學生能得到橢圓的方程如③式，這樣從②式到③式的轉換就變得非常自然，學生對令a2－c2=b2（b>0）也會覺得非常合理，同時也培養了學生的合情推理能力． 當然整個推導過程要讓學生切身體驗，體驗具體的計算過程． 章建躍老師曾指出：“‘老師板演學生看’的做法，忘記了‘飯要自己親自吃’的常識，剝奪了學生自主實踐、獨立思考的機會，結果肯定是講過練過的不一定會，沒有講過的肯定不會”．

1. 改進

學生學習的困難是橢圓標準方程的推導過程，帶根式的方程的化簡學生感到困難，也是教學的難點，特別是由M適合的條件所列出的方程為兩個根式的和等于一個非0常數的形式，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過3個，且次數高、項數多．由于初中代數學習中這方面的知識準備不夠充分，所以教學中要注意引導學生分析這類方程化簡的方法． 化簡過程的思路自然、直觀，但運算量較大，學生覺得比較麻煩，那么我們是否可以改進呢？

由①+=2a我們能否得到

+=？如果能得到，計算量就會小了很多，通過思考得恒等式：［（x+c）2+y2］－［（x－c）2+y2］=4cx④，

由④÷①得：-=⑤，

由⑤+①得：=a+⑥，

將⑥兩邊平方，整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）．

這樣通過“分之有理化”去掉了一個根號，只要一次兩邊平方就可以化簡．

反思

將①式移項后兩邊平方得

（x+c）2+y2=4a2－4a+（x－c）2+y2，

即a2－cx=a，我們可以得到=，式子表示點M到定點F2的距離，而式子－x表示點M到定直線x=的距離，故動點M又可以描述為平面內到一定點F的距離和到一定直線l（F不在l上）的距離的比是一定值的點的軌跡是橢圓． （這是P47例題6所揭示的橢圓“第二定義”）．

將②式移項整理得，a2y2=（a2－x2）·（a2－c2），當x≠±a時，我們有

=，即·=（定值），故動點M還可以描述為平面內到兩定點（不包括這兩點）連線斜率之積為定值的點的軌跡是橢圓（除去兩點）． 只有我們對數學知識有全面深刻的理解，了解知識的來龍去脈，才能使學生在運用知識時領會知識的要領，達到真正的掌握． 數學思想是數學的靈魂，它可以遷移到數學以外的各門學科和各種工作中去． 數學思想方法的教學必須貫徹明確性的原則． 每一個數學公式的推導，都體現出某種數學思想方法，教學中必須揭示推導公式過程中隱含的數學思想和方法，指出它的名稱、內容和規律，并有意識地對學生進行訓練．

感悟

公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內的無窮多個數． 有的學生在學習公式時，可以在短時間內掌握，而有的學生卻要翻來覆去地體會，才能跳出千變萬化的數學關系的泥潭． 在實際教學中，教師應重視對公式的推導，重視公式的結構分析，注意公式的范圍和變形，揭示公式的本質，以及公式之間的聯系，促進知識的內化，這樣有助于學生理解和掌握運用公式． 在公式教學中，可以設計恰當的問題情景，激發學生的求知欲望，目的是讓學生弄清楚公式的來龍去脈，盡可能讓學生自己發現公式，讓學生推導公式，讓學生充分地動腦、動手、動口，這樣才能真正的透過公式的表面認識公式的本質．