一道三角函數高考題的立體延伸

摘 要：本文從一道三角函數高考題出發，對問題的解決進行思考、延伸，從高度、廣度、深度三個方面，對三角函數中解題的數學思想與方法，問題的解決與推廣作了一些探討，為數學習題課教學提供了一個有效課堂教學的例證．對典型的高考試題，經常進行多解與變式研究，從多個角度來教學，融知識內容、思維訓練、方法探究為一體，從而達到有效課堂教學的目的．

關鍵詞：高考題；三角函數；立體延伸

高考原題及解答

原題：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若+=6cosC，則+=________．

解法1：將條件等式中的“邊化角”，應用正弦定理，得+=6cosC，

去分母得sin2A+sin2B=6sinAsinBcosC①，

+=+==，

所以由①得+=②． 由條件等式又得a2+b2=6abcosC，

右邊應用余弦定理，得a2+b2=3（a2+b2－c2），整理得3c2=2（a2+b2）③．

對③式再應用正弦定理，得3sin2C=2（sin2A+sin2B）④，

把④式代入②式，得+==4.

這是2010年高考數學江蘇卷理科第13題． 筆者在三角函數復習的教學中對此題的解題作了一些思考，歸納為以下幾個角度．

幾個角度的分析

1． 高度——解題思想及方法的延伸（一題多解）

延伸意圖：這道三角函數填空題，題目雖小，但解起來并不輕松，既要用到三角形中的正弦定理和余弦定理，又要用到三角函數的恒等變形及等價轉化思想等，屬中等偏難的題，但從訓練學生思維創造性與靈活的角度考慮，它又不失為一道能力考查的好題． 當教師站在比較高的角度來解這道題時，會發現它是三角函數中一個極好的問題解決的教學索材．

從解法1可知，如果先將條件等式中的邊轉化為角，就必須進行兩次“轉化”． 那么，能不能減少轉化的次數呢？

探究2：對余弦定理進行“正弦化”，找一找是否有新的可用結果．

解法2：對余弦定理c2=a2+b2－2abcosC應用正弦定理，得sin2C=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC，

由④式得sin2A+sin2B=sin2C，整理得sin2C=4sinAsinBcosC⑤．

由解法1知+=，將⑤式代入上式得+==4.

探究3：對問題式進行變形，看一看能否將條件等式代入．

解法3：由解法1知+=. 將條件等式逆向代人，得

+=.由正弦定理得+=+，代入得+==.

把④式代入上式，得+==4.?搖?搖?搖?搖

探究4：將條件與問題式中的“角化邊”，探一探能不能解決問題．

解法4：由解法1中之③得=⑥．

又由解法1知+=，

對此式同時應用正弦定理和余弦定理，得

+==，把⑥式代入上式得+==4.

探究5：對條件等式不用余弦定理，對問題式也不變形，想一想能否有解．

解法5：對條件等式用正弦定理，得+=6cosC⑦，

比較上式與所求問題式的結構，可從轉化角入手，即對上式左端中的兩個分子，利用三角形內角和定理以及誘導公式，得+=6cosC，

將上式左端上的分子展開，得

+=6cosc，

整理得+=4cosC，

兩邊同除以cosC，得到+=4⑧．

探究6：由于該題是一道填空題，因此，可考慮用特殊化法求解． 將角C取為特珠角，或將a邊與b邊取為相等的邊，做一做會怎樣．

解法6：取C=則由條件等式得a2+b2=3ab，

由==得c2=2ab，由解法1知+=，

對上式應用正弦定理得+=，所以+==4.

解法7：取a=b=1，則由條件等式得cos=，tan2===，即得tan=. 所以tanC===2.

tanA=tanB===，所以+=+=4.

2． 廣度——命題推廣的橫向延伸（一題多變）

延伸意圖：仔細分析上述各種不同解法，我們發現，當條件等式變形之后，所求問題式也要隨之改變，只要兩者在變形的過程中形成有效的對接，那么問題便會順利得到解決． 對此，我們可從變式訓練的角度，以解題過程為起點，改變試題結構，生成新的命題．

問題2：在銳角△ABC中，已知+=4，求證：+=6cosC.

問題3：在銳角△ABC中，若=3cosC，則+=________．

解：由條件等式及余弦定理，得

c2=·2abcosC=（a2+b2－c2），整理得=⑨，由解法4知+=. 把⑨式代入上式得+==3.

問題4：在銳角△ABC中，若+=2（1+cosC），則+=________．

解：由條件等式及余弦定理，得

a2+b2=2ab+2abcosC=2ab+a2+b2－c2，

整理得c2=2ab⑩．

+=sinC+=sinC·=，對上式應用正弦定理得+=，將⑩式代入上式得+==2.

問題5：在銳角△ABC中，若+=2（a+b）cosC，則+=________．

解：由條件等式及余弦定理，得

a3+b3=（a+b）·2abcosC=（a+b）（a2+b2－c2）.

整理得c2=ab?輥?輯?訛，得+=1.

問題6：在銳角△ABC中，若+=2cosC，則的值是________．

解：對條件等式應用正弦定理得+=2cosC，整理得+=2，所以==.

問題7：在銳角△ABC中，若+=1+cosC，則1+·－1的值是________．

解：由條件等式及余弦定理，得

c（a+b）=ab+abcosC=ab+（a2+b2－c2），得2（a+b）c=（a+b+c）（a+b－c）?輥?輰?訛，

由正弦定理得

1+·－1==，

將?輥?輰?訛式代入上式得1+·－1==2.

3． 深度——命題推廣的縱向延伸（多題一解）

延伸意圖：對這類特殊的三角函數問題，進行教學方法、命題推廣的探究之后，設計有探索性的練習題可以及時鞏固所思所想，達到有效教學的目的．

問題8：在銳角△ABC中，若+=4，則=________．

問題9：在銳角△ABC中，若+=3，則=________．

問題10：在銳角△ABC中，若+=2，則=________．

延伸回顧與教后感受

為了一道高考題去多方面探索解題的途徑及推廣命題的探究，看起來是“慢”，其實踐證明是“快”，因為長期這樣做，提高了學生學習數學的思維能力，極大地滿足了學生自主探究的心理，從長遠來看是“快”的教學，是有效的課堂教學． 一道高考題是可以從“高度——解題思想及方法的延伸（一題多解）”、“廣度——命題推廣的橫向延伸（一題多變）”、“深度——命題推廣的縱向延伸（多題一解）”這幾個角度來教學的，融知識內容、思維訓練、方法探究為一體，從而達到有效課堂教學的目的．