一次探究性教學與高考試題的“碰撞”

摘 要：隨著新課程改革的深入和發展，教師越來越關注自己的教學模式，其中探究性教學是最常用和有效的教學模式之一． 探究性課堂教學能充分發揮學生的主觀能動性，在充分肯定學生是教學主體的前提下，積極引導學生提出問題、解決問題．高考試題是千變萬化的，在考查學生知識的同時，更在考查學生的能力，而探究性教學以一題多解、一題多變，在減輕學生負擔、提高課堂效率上不失為一種有效的教學形式．

關鍵詞：教學；探究教學；有效教學

含參不等式恒成立問題一直都是每年高考的熱點問題，長盛不衰． 由于這類問題常常在知識網絡交匯點處設置，往往能有效檢測學生的數學能力． 因此，我們在平時教學中可以采用探究教學，讓學生自己建構知識，主動探究解法，從而掌握這一類問題的解法． 在高三這一問題的復習課中，筆者在教學中正是采用了探究性教學，從而使得我班學生在2011年高考中獲益匪淺． 下面是筆者在教學中的一個案例，供參考．

例：x2－ax+1≥0，在x∈［1，2］上恒成立，求實數a的取值范圍．

這是一個比較典型的含參不等式恒成立問題．經過短暫思考后，就有學生回答了．

學生1：只要Δ≤0就可以了．

但馬上他又意識到好像有問題．于是又進行了補充．

學生1：如果去掉條件x∈［1，2］，那就對了． 加了條件后，感覺好像很難做，再想想．

筆者馬上肯定了他，同時又鼓勵其他學生思考這個問題的解法． 很快，學生們就發表了自己的解法，主要解法如下：

解法1：構造函數

令f（x）=x2－ax+1，x∈［1，2］，對稱軸是x=，只要函數f（x）的最小值大于0就可以了．

（1）當<1，即a<2時，f（x）min=f（1）=2－a≥0，所以a<2.

（2）當1≤≤2，即2≤a≤4時，

f（x）min=f=1－≥0，所以a=2.

（3）當>2，即a>4時，f（x）min=f（2）=5－2a>0，所以a無解.

綜上所述，a的取值范圍是（－∞，2］．

解法2：分離參數

原不等式變形為ax≤x2+1，因為x∈［1，2］，所以a≤x+恒成立． 令g（x）=x+，x∈［1，2］，只要a≤g（x）min． 因為g′（x）=1－≥0，所以g（x）在［1，2］上單調遞增，所以g（x）min=g（1）=2，所以a≤2．

解法3：數形結合

令y1=ax，y2=x2+1，x∈［1，2］，畫出兩個函數的圖象，由a的幾何意義，馬上就能得出a的取值范圍是（－∞，2］

教師：下面請同學們一起歸納一下剛才的三種解法，并對它們的優缺點做一下說明，或者說你更喜歡哪種解法？

學生2：我喜歡解法3，過程很少，思路簡單，容易做．

學生3：解法1思路簡單，但構造的函數是含參數的，在求最值中往往要進行分類討論，比較麻煩． 解法3看起來比較簡單，但前提是這兩個函數的圖象要比較好畫，而有時卻很難畫，所以要具體問題具體分析． 而解法2看起來比較好，所構造的函數不含參數，在求最值時比較簡單，所以我比較喜歡解法2.

筆者統計了一下，幾乎所有的同學都傾向于解法2，而筆者自己也是比較喜歡解法2的，讓學生感受我們師生是“一條心”的． 既然我們的想法統一了，我們就更有必要對解法2進行一次探究，看看它在使用時是否有什么限制條件，解法過程上有什么變化．

教師：請同學們在保證恒成立問題下，變換題目中的條件，再次用分離參數法做一下．

設計意圖：在教學中教師要注重一題多解，但更要讓學生學會解法的選擇．在確定解法后，還要進一步讓學生去探究哪些問題能用這個解法．

探究一：x2－ax+1≥0，在x∈［－1，1］上恒成立，求a的取值范圍．

分析：原不等式變形為ax≤x2+1，要把參數a分離出來，必須對x進行討論，要分成三種情況．

（1）x∈［－1，0），a≥x+恒成立，令g（x）=x+，可知g（x）max=g（－1）=－2，所以a≥－2．

（2）x=0，a∈R．

（3）x∈（0，1］，a≤x+，可知此時g（x）max=g（1）=2，所以a≤2．

綜上所述，可知a的取值范圍是［－2，2］．

此題變化了x的取值范圍，從而導致變形時必須對x進行討論，學生在做時，對x=0的討論一開始有所忽略，后經討論后再補上，還有就是最后的結論，對a的取值范圍應該是取上面三個取值范圍的交集還是并集做了探究．

探究二：（a2－1）x2+ax－1≥0在x∈［1，2］時恒成立，求a的取值范圍．

公式變形為a2x2+ax≤x2+1后，不等式左邊是關于a的一元二次項，很難進行分離，在探究過程中遇到了困難． 后來經過大家努力，終于有一些學生提出了想法，用配方法把它給分離出來．

解法分析：對上述不等式的左邊進行配方，得到ax+2≤x2+，此時不等式右邊是大于0的，所以－≤ax+≤，即a≤－，a≥－－

在x∈［1，2］上恒成立，此時問題已經轉化為我們熟悉的問題，只要再構造兩個函數，分別求出最值就可以了．筆者把求這兩個函數的最值作為了學生的作業． （具體解法略）．

上述題型可以歸納為若出現的是參數的一元二次項，則可以先用配方法，然后再進行參數分離． 一開始大家都覺得這個題目挺難，會放棄用分離參數法，但經過我們的探究，仍然是可以用的，最后的結果取決于所構造的函數，它們的最值是否好求．很碰巧，2011年的高考就考了一個含參不等式恒成立問題．

下面來看2011年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）中的最后一道壓軸題．

例 設函數f（x）=（x－a）2lnx，a∈R.

（1）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a；

（2）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立，注：e為自然對數的底數．

我們來看第2問，很顯然，每個同學都能看到這是一個恒成立問題，但當初卻有很多考生做不出來． 不過筆者所在班的學生做得還可以，他們基本上都是采用分離參數法，與參考答案的解法不一樣，都還說這個題目和課堂上講的差不多，筆者想他們所說的那節課大概就是上面所講的這個案例了． 下面我們來比較一下這兩種解法：

解法1：（參考答案）

（2）①當0

②當10，且h（3e）=2ln（3e）+1－≥2ln（3e）+1－=2ln3e－>0. 又h（x）在（0，+∞）內單調遞增. 所以函數h（x）在（0，+∞）內有唯一零點，記此零點為x0，則10；當x∈（x0，a）時，f′（x）<0；當x∈（a，+∞）時，f′（x）>0. 即f（x）在（0，x0）內單調遞增，在（x0，a）內單調遞減，在（a，+∞）內單調遞增． 所以要使f（x）≤4e0對x∈（1，3e）恒成立，只要

f（x0）=（x0－a）2lnx0≤4e2，（1）f（3e）=（3e－a）2ln（3e）≤4e2，（2）成立．

由h（x0）=2lnx0+1－=0，知

a=2x0lnx0+x0，（3）

將（3）代入（1）得4xln3x0≤4e2.

又x0>1，注意到函數x3ln3x在［1，+∞）內單調遞增，故1

再由（3）以及函數2xlnx+x在（1，+∞）內單調遞增，可得1

由（2）解得，3e－≤a≤3e+.

解法2：（學生做的）

①當0

②當10，所以（x－a）2≤（形式等同于探究二），所以x－≤a≤x+． 令g（x）=x+，g′（x）=1－=0，可得x=e，所以當x∈（1，e），g′（x）<0，當x∈（e，3e］，g′（x）>0，所以g（x）在（1，e）上單調遞減，在（e，3e］上單調遞增，所以g（x）min=g（e）=3e，所以a≤3e．

同理，令h（x）=x－，h′（x）=1+>0恒成立，所以h（x）在（1，3e）上單調遞增，所以h（x）max=h（3e）=3e－，所以a≥3e－．

綜上所述，可得3e－≤a≤3e+

比較兩種解法，顯然解法2更容易為考生所接受．

高考試題是千變萬化的，教師很難猜到． 這就要求我們在平時教學中不是帶著學生去做很多題目，而是要注重上課效率，提高學生的解題和應變能力，而探究性教學正是這樣一個極佳的教學方法． 所謂“探究性教學”，就是教師為了指導和培養學生探究性學習而模擬科學探究所設計和組織的一種課堂教學． 它包括教與學兩個方面，一方面教師給學生提供必要的指導與幫助，使學生明確探究的目的、方向和方法；另一方面學生在教師的指導下，探索發現問題，并通過觀察、分析、類比、歸納、猜想、證明等探究性活動，積極主動地發現問題、探究問題，獲得知識、技能、情感與態度的發展過程． 實踐證明探究性教學既能提高學生的高考成績，也能提高學生的數學素養和個人綜合素質，筆者仍將探索如何更好地開展探究性教學．