幾何畫板讓數學研究走進緣分的天空

摘 要：與兩定圓相切的動圓圓心軌跡涉及問題復雜，需要構建技術環境以幫助學生認識問題的本質；在詳解問題情境的畫板構造后，分情況進行詳細探究，并得出結論：當動圓與兩定圓同時內切或外切時，圓心軌跡為長軸長（或實軸長）為半徑之差的橢圓（或雙曲線）；當動圓與一定圓外切一定圓內切時，圓心軌跡為長軸長（或實軸長）為半徑之和的橢圓（或雙曲線）． 而應用技術在幫助學生認知的同時，也為數學課堂轉型提供了一重要方向．

關鍵詞：相切；軌跡；數學研究；幾何畫板；探究情境

我們知道，橢圓和雙曲線涉及距離和或差為定值的問題，正與兩圓相切相契合（如兩圓外切即圓心距等于半徑之和），圓與圓錐曲線的關系正如《圓與圓錐曲線的不解之緣》一文所言“有著不解之緣”，因此與兩定圓相切的動圓圓心軌跡問題是提升學生思維水平的很好的課題． 但既要考慮動圓與兩定圓相切的具體情形，又涉及兩定圓本身的位置關系，如《圓與圓錐曲線的不解之緣》一文所敘述的那樣，個中關系錯綜復雜，如果只是采用解析的方式，對學生而言其結果只能是“有緣無分”． 本文以幾何畫板5.0為軟件平臺，創設探究情境，讓學生在技術支持下插上想象的翅膀，自主地在“問題空間”里進行探索．

畫板構造探究情境

為行文方便，本文所涉及問題均為動圓C與定圓A、定圓B相切， P為圓A上一動點，圓A，B，C的半徑分別為r1，r2（假設r1>r2），r，考慮到問題復雜性，先研究圓B退縮為一點的情形．

1． 動圓過定點與定圓相切的畫板實現

因為動圓圓心C滿足CP=CB，所以構造PB的垂直平分線與AP的交點即為圓心C．

如圖1，當動圓C與定圓A外切時，C點軌跡為雙曲線的右支（對應點B）；如圖2，動圓C與定圓A內切時，C點軌跡為雙曲線的左支（對應點A）． 事實上，上述結論限于點B在圓A外時，若點B落于圓A內，則C點軌跡為一橢圓（如圖3，此時圓C與圓A內切）；若點B在圓上時，則C點軌跡為兩條射線（直線AB去除圓內的部分）．

2． 動圓與兩定圓相切的畫板實現

當動圓C（以CP為半徑）與兩定圓A，B外切時，可轉化為動圓C（以CM為半徑）過點B與定圓A（以AM為半徑）外切（圖4中虛線所示），其中PM等于圓B的半徑． 具體構造步驟如下：

步驟1，構造定圓A，B（兩圓相離）和圓A上一點P；

步驟2，先后選中點A，P，標記為向量，將B點按標記向量平移，得到點Q；

步驟3，先后選中點B，Q，構造射線BQ，交圓B于點N；

步驟4，先后選中點N，B，標記為向量，將P點按標記向量平移，得到點M；

步驟5，構造線段MB的垂直平分線，交直線AP于點C；先后選中點C，P，構造動圓C．

步驟6，如圖5所示，拖動點P，可以發現動圓C與定圓A． B同時外切或同時內切；選中點C． P構造軌跡，可以發現點C的軌跡為一雙曲線．

如果要實現動圓C與定圓A，B一外切一內切，只需將上述步驟4略加調整如下即可：

步驟4—1，如圖6，先后選中點B，N，標記為向量，將P點按標記向量平移，得到點M；

構造過程采用向量平移的方式可保證方向的一致性，這樣圖5中AM=r1－r2（可視為有向線段），圖6中AM=r1+r2．

數學探究過程

探索1 動圓與兩定圓同時內切或外切時

兩定圓外離時：動圓與兩定圓同時外切，由圖7知點C的軌跡為雙曲線的右支；動圓與兩定圓同時內切時，由圖8知點C軌跡為雙曲線的左支． 進一步分析可知：同時外切時，因為CA=r+r1，CB=r+r2，所以CA－CB=r1－r2；同時內切時，因為 CA=r－r1，CB=r－r2，所以CB－CA=r1－r2；這樣可知C點軌跡為以A，B為焦點，實軸長為r1－r2的雙曲線．

兩定圓外切或相交時：點C的軌跡仍為以A，B為焦點的雙曲線，但外切時，軌跡為雙曲線右支中圓B外的部分（如圖9），內切時則為左支及右支圓B內的部分（如圖10），顯然《圓與圓錐曲線的不解之緣》一文在這個問題的探討上是有失偏頗的．

兩定圓內切時：點C的軌跡為直線AB．

兩定圓內含時：動圓C只能與兩定圓內切，從圖11可以發現，點C的軌跡為一橢圓，因為CA=r1－r，CB=r－r2，所以CB+CA=r1－r2，所以軌跡為以A，B為焦點、長軸長為r1－r2的橢圓．

結論：AB>r1－r2時，C點軌跡為以A、B為焦點，實軸長為r1－r2的雙曲線；AB=r1－r2時，C點軌跡為直線AB；AB

探索2 動圓與兩定圓一個內切一個外切時

兩定圓外離時：如圖12，圓C與圓A外切、圓B內切時，因為CA=r+r1，CB=r－r2，所以CA－CB=r1+r2，所以軌跡為以A，B為焦點，實軸長為r1+r2的雙曲線的右支；如圖13，與圓A內切、圓B外切時，軌跡為雙曲線的左支．

兩定圓外切時：C點軌跡為直線AB．

兩定圓相交時：如圖14，圓C與圓A內切、圓B外切時，因為CA=r1－r，CB=r+r2，所以CA+CB=r1+r2，所以軌跡為以A，B為焦點，長軸長為r1+r2的橢圓（圓B外）；圓C與圓A外切、圓B內切時，軌跡為相同的橢圓（圓A外）．

兩定圓內含時：動圓C只能與圓A內切、圓B外切，如圖15其軌跡仍然是橢圓．

結論：AB>r1+r2時，C點軌跡為以A、B為焦點，實軸長為r1+r2的雙曲線；AB=r1+r2時，C點軌跡為直線AB；AB

事實上，本文所研究問題涉及兩個維度的變化，一是圓C的運動變化. 二是定圓A，B之間位置關系的相對變化． 在教育技術能提供“多元聯系表示”的學習環境中，一方面可以讓學生真實感知軌跡的性質，另一方面也可讓學生從觀察、猜想、驗證中感受數學研究的全過程；況且數學教學的目的絕非僅僅是傳授數學知識，更重要的是改善學生的數學學習方式，正如弗賴登塔爾所言“數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的．” 教育技術讓數學研究走進緣分的天空的同時，也讓數學課堂從“知識”、“能力”走向“研究”、“創新”成為可能，因此挖掘技術潛力以用“火熱的思考”融化“冰冷的美麗”應是數學課堂轉型研究的一重要方向．