一個常用結論成立條件的推廣

常用結論：若x>0且y>0，則n≤（n∈N+）. 將其條件推廣后得到：

定理：若x+y>0，則n≤（n∈N+）.

為了證明上述定理，先證明一個引理.

引理：若x+y>0，則xiyn-i+xn-iyi≤xn+yn（n∈N+且i=0，1，2，…，n）.

證明：xiyn-i+xn-iyi≤xn+yn?圳（xi－yi）#8226;（xn-i－yn-i）≥0，

故只要證 （xi－yi）（xn-i－yn-i）≥0（*）.

（1）當i與n－i都是奇數時，（*）式顯然成立；

（2）當i為奇數，n－i為偶數時，記n－i=2k（k∈N），則xn-i－yn-i=x2k－y2k=（x2）k－（y2）k=（x2－y2）（x2）j（y2）k-1-j，故（xi－yi）（xn-i－yn-i）=（xi－yi）（x－y）（x+y）（x2）j（y2）k-1-j，由（xi－yi）（x－y）≥0，且x+y>0，（x2）j（y2）k-1-j>0得（*）式成立. 同理可證，當i為偶數，n－i為奇數時，（*）式成立.

（3）當i與n－i都是偶數時，記i=2p（p∈N），n－i=2k（k∈N），則xi－yi=x2p－y2p=（x2）p－（y2）p=（x2－y2）#8226;（x2）t（y2）k-1-t，xn-i－yn-i=x2k－y2k=（x2）k－（y2）k=（x2－y2）#8226;（x2）j#8226;（y2）k-1-j，即（xi－yi）（xn-i－yn-i）=（x－y）2（x+y）2#8226;（x2）t（y2）p-1-t（x2）j（y2）k-1-j.

由（x－y）2≥0，（x+y）2>0，且（x2）t#8226;（y2）p-1-t>0，（x2）j（y2）k-1-j>0得（*）式成立.

綜合（1）（2）（3）得引理成立.

由引理可得：若x+y>0，

則C（xiyn-i+xn-iyi）≤C（xn+yn），即：若x+y>0，則2（x+y）n≤2n（xn+yn）. 整理得：

若x+y>0，則n≤（n∈N+），當且僅當x=y時等號成立.