研究課本定理 探究證明應用

摘 要：普通高中課程標準實驗教科書選修4-4《坐標系與參數方程》第4頁例2介紹了著名數學家歐拉（Euler，1707-1783）于1765年提出的歐拉線定理“三角形的外心、重心和垂心在同一條直線上”的一種解析證法. 為開闊學生視野，啟迪學生思維，提高學生的綜合證明水平，本文再介紹幾種解析證法，而后談談從證明中得到的一個性質的應用，供高中師生教與學時參考.

關鍵詞：研究；定理；證明；應用

歐拉線定理的解析證明

證1：如圖1，P，G，H分別為△ABC的外心、重心和垂心，以AB為x軸，CH為y軸建立平面直角坐標系，設A（a，o），B（b，0），C（o，c），E，F分別為AB，BC的中點，則E，0，F，，CH 的直線方程為x=0，PE的直線方程為x=.

連結AH并延長交CB于點D，則AD的直線方程為y=（x－a），PF的直線方程為y－=x－，即2bx－2cy－b2+c2=0，從而可求得H，P，G三點的坐標分別為H0，－，P，，G，.

計算得HG==#8226;.

同理可求得GP=#8226;，HP=#8226;.

易得HG+GP=HP，故H，G，P三點共線.

證2：證H，G，P三點連線形成的角中任一個角的余弦值為±1.

設（a+b）2c2+（3ab+c2）2=M，由證1已知HG，HP，GP的長度. 由余弦定理，得

cos∠H====1，所以∠H=0°，即H，G，P三點共線.

證3：假設H，G，P三點不共線，則△HGP的外接圓的圓心到H，G，P三點等距離. 設點R（x，y）到H，G，P三點距離相等，即RH=RG=RP. 于是RH2=RG2=RP2，

即x2+y+=x－+y－，x+y+=x－+y－，

而這個方程組無解，所以到H，G，P三點等距離的點不存在，因此假設不成立.

故H，G，P三點共線.

證4：因為H0，－，P，，G，，

所以0 － 1 1 1=－#8226;+#8226;－#8226;+#8226;=0.

S△HGP的面積=0，故H，G，P三點共線.

歐拉線定理的一個性質

由上述證法1通過比較可得GP=HG，即“在歐拉線上，外心到重心的距離等于重心到垂心的距離之半”.

歐拉線定理性質的應用

例 設A1A2A3A4為⊙O的內接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2的垂心，求證：H1，H2，H3，H4四點在同一圓上，并定出該圓的圓心位置.

證明：如圖2，不妨設四邊形A1A2A3A4的外接圓圓心O在坐標原點，半徑為1，并設四個頂點的坐標依次為Ai（cosθi，sinθi）（i=1，2，3，4）；G1，G2，G3，G4分別為△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2的重心.應用三角形的重心坐標公式，得

G1，，

G2，，

G3，，

G4，.

又由歐拉線性質，知OGi∶GiHi=1∶2（i=1，2，3，4），所以OGi=OHi.

另由定比分點坐標公式可求得垂心Hi的坐標依次為

H1（cosθ1+cosθ2+cosθ3，sinθ1+sinθ2+sinθ3），H2（cosθ2+cosθ3+cosθ4，sinθ2+sinθ3+sinθ4），H3（cosθ3+cosθ4+cosθ1，sinθ3+sinθ4+sinθ1），H4（cosθ4+cosθ1+cosθ2，sinθ4+sinθ1+sinθ2）.

考慮點O′（cosθ1+cosθ2+cosθ3+cosθ4，sinθ1+sinθ2+sinθ3+sinθ4），容易求得

O′H1=O′H2=O′H3=O′H4==1，于是H1，H2，H3，H4四點在以O′點為圓心，以1為半徑的圓上，從而命題得證.

在平時的教學過程中，注意對著名定理的研究，符合新課程標準關于“讓學生的思維活躍起來”的理念要求，利于提高學生學習和研究專題講座的水平，利于提高教學質量，利于學生在總結的過程中，開拓思路，鞏固所學知識， 利于提高學習和解題效率，利于培養學生的探索精神和創新意識，利于激發學生學數學用數學的積極性；能夠幫助學生理解課本內容，提高分析問題和實際問題的能力，對于啟迪學生思維，開闊視野、培養和發展學生的思維能力頗有益處. 在今后的教學過程中，教師應做好引導學生進行這類專題內容的探索與研究，這很有必要.