圓錐曲線的巧合點

摘 要：若A是圓錐曲線C的與其準(zhǔn)線垂直的對稱軸上的一個定點，P是曲線C上一動點，l是曲線C在點P處的切線，則使PA取最小值的點P1與使O到l的距離取最小值的點P2神奇地“巧合”了. 本文揭示了這種巧合實是必然的.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；最小值；巧合；必然

問題的提出

2011年新課標(biāo)全國卷20題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，-1），B點在直線y=-3上，M點滿足∥，#8226;=#8226;，M點的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值.

求得曲線C的方程為y=x2-2（如圖1）， 且當(dāng)P為拋物線的頂點時，O點到直線l的距離d最小.

若Q為該拋物線上一動點，易求得當(dāng)Q為拋物線的頂點時，Q到原點O的距離也恰好最小. 從而使d取最小值的點P與OQ取最小值的點Q神奇地重合了（如圖1）. 若我們稱這樣的點為“巧合點”，則“巧合點”是巧合，還是必然結(jié)果呢？

猜想

若M（m，0）是拋物線C：y2=2px（p>0）對稱軸上一定點，P是C上一動點，C在點P處的切線為l，M到l的距離為d，則當(dāng)PM取最小值時，d也取最小值；反之亦然.

證明：設(shè)P（x0，y0），則y=2px0.

PM2=（x0-m）2+y=x-2mx0+m2+2px0=x-2（m-p）x0+m2（x0≥0），

曲線f（x0）=x-2（m-p）x0+m2的對稱軸為x0=m-p.

當(dāng)m-p≤0，即m≤p時，x0=0時，PM取最小值，易驗證此時PM⊥l；

當(dāng)m-p>0，即m>p時，x0=m-p時，PM取最小值，此時，

kPM===－，

又由y2=2px求導(dǎo)得：2yy′=2p，y′=從而切線l的斜率k=，

所以kPM#8226;k=－#8226;=－1，所以PM⊥l.

因此，當(dāng)PM取最小值時，總有PM⊥l；設(shè)此時點P的位置為P0，作MD⊥l于D，線段MD交拋物線C于E（如圖2），則d=MD≥ME≥MP0，當(dāng)且僅當(dāng)P與P0重合時，d取最小值，即：當(dāng)且僅當(dāng)PM取最小值時d也取最小值.

類比

若M（m，0）是橢圓C：+=1（a>b>0）長軸所在直線上一定點，P是C上一動點，C在點P處的切線為l，M到l的距離為d，則當(dāng)PM取最小值時，d也取最小值；反之亦然.

證明：設(shè)P（x0，y0），則+=1.

PM2=（x0-m）2+y=x-2mx0+m2+b2-x=1-x-2mx0+m2+b2=x-2mx0+m2+b2（－a≤x0≤a），

曲線f（x）=x-2mx0+m2+b2的對稱軸為x0=.

若≥a，即m≥，則當(dāng)x0=a時，PM取最小值，此時PM⊥l；

若≤-a，即m≤-，則當(dāng)x=-a時，PM取最小值，此時PM⊥l；

若-a<

m=x0，kPM====，又由+=1求導(dǎo)得+y′=0，整理得y′=－，

所以點P的切線l的斜率為k=－，于是kPM#8226;k=－#8226;=－1，因此PM⊥l.

因此，當(dāng)PM取最小值時，總有PM⊥l；設(shè)此時點P的位置為P0，作MD⊥l于D，線段MD交拋物線C于E（如圖3），則d=MD≥ME≥MP0，

當(dāng)且僅當(dāng)P與P0重合時，d取最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)PM取最小值時d也取最小值.

一般化

若M（m，0）是一定點，圓錐曲線C的焦點在x軸上，P是C上一動點，C在點P處的切線為l，M到l的距離為d，則當(dāng)PM取最小值時，d也取最小值；反之亦然.

只需證明曲線C為雙曲線時結(jié)論也成立，證明過程同橢圓，證明過程略.