圓柱(臺)表面螞蟻爬行最短路徑分析

摘 要：本文構(gòu)建了圓柱和圓臺表面最短路徑的函數(shù)模型，給出了最短路徑的幾何解釋，論證了圓柱表面最短路徑問題，提出了一個基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的圓臺表面最短路徑的猜想．

關(guān)鍵詞：圓柱表面；圓臺表面；最短路徑；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)猜想

問題提出

北師大版八年級數(shù)學(xué)教材上冊，提供了一個利用勾股定理解決實(shí)際問題的應(yīng)用背景：如圖1，有一個圓柱，在圓柱下底圓周上的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點(diǎn)對應(yīng)的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？然而在實(shí)際教學(xué)情境中，有學(xué)生會問，如果螞蟻不沿著側(cè)面而是圓柱表面爬行，螞蟻爬行的最短路程應(yīng)該是怎樣的呢？

作者費(fèi)孝文在《探求螞蟻爬行的最短線路》（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2010年第1-2期）一文中敘述了該問題的課堂探究實(shí)錄：設(shè)圓柱的高為h，底面圓的半徑為r，①當(dāng)hr時，沿著側(cè)面對角線走路程最短，距離為；③當(dāng)h=r時，兩條路徑距離相等．

作者徐偉在《再談螞蟻爬行 試探最短路程》（《中學(xué)數(shù)學(xué)》2010年第4期#8226;初中版）認(rèn)為，解題過程不夠嚴(yán)密，因?yàn)槲浵亸狞c(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到B點(diǎn)的路程，除了以上兩種外，應(yīng)還存在許多從A到B的路程． 如圖1，設(shè)M是上底面圓周上一點(diǎn)，在路徑A→M→B中，由M點(diǎn)的不確定性，決定了從A到B的爬行路徑有很多種，到底哪一種走法路程最短？徐先生只是說通過《幾何畫板》也找到了最短路程，并指出幾何畫板終究是實(shí)驗(yàn)探究，它無法代替數(shù)學(xué)的最高權(quán)威——證明. 然而徐先生接著筆鋒一轉(zhuǎn)，談起了教學(xué)反思三得，并未給出它的證明． 筆者通過實(shí)物實(shí)驗(yàn)，肯定了以上兩文的結(jié)果，但覺得意猶未盡，于是利用高等數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)軟件，對這一問題做了以下嘗試．

問題解決

雖然圓柱體表面在整體上并不光滑，但它由分片光滑可展曲面（平面與圓柱面）拼接成，局部范圍內(nèi)，平面上的短程線是直線段，圓柱面上的短程線是圓柱螺線，它們均可展成同一平面上的直線段． 如圖2，將圓柱半個側(cè)面和上底展開成平面，使它們在M點(diǎn)處相切，側(cè)面展開為矩形ADBC，上底面圓為⊙O，圓周上和B，C對應(yīng)的點(diǎn)為B′，C′． 問題轉(zhuǎn)化為求擺線弧B″B上點(diǎn)B′經(jīng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的折線段AMB′的長度的最小值．

為此，設(shè)圓柱的高為h，底面圓的半徑為r，∠C′OM=x（0≤x≤π），則CM=rx． 在△AMC中，AM=． 在△OMB′中，MB′=2rcos． 設(shè)折線AMB′的長為f（x），則f（x）=AM+MB′=+2rcos（0≤x≤π）．

f（x）在區(qū)間［0，π］上的導(dǎo)函數(shù)為

f ′（x）=r－sin．（2．1）

（１）f ′（x）在（0，π）內(nèi)最多有一個零點(diǎn)

首先，對（２．1）式變形，設(shè)

x=tanθ．（2．2）

其中θ=∠CAM，由0≤x≤π知0≤θ≤arctan（<）．將（2．2）式代入（２．1）得f ′（x）=rsinθ－sintanθθ∈0，arctan． 令f ′（x）=0，得sinθ－sin#8226;tanθ=0θ∈0，arctan．由于正弦函數(shù)在0，上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以

θ－tanθ=0，θ∈0，arctan.

（2．3）

由（２．２）的單調(diào)性知，（2．3）在開區(qū)間0，arctan的零點(diǎn)個數(shù)與（2．1）在開區(qū)間（0，π）的零點(diǎn)個數(shù)相等． 而（２．３）在0，arctan上至多只有一個零點(diǎn)． 事實(shí)上，令函數(shù)h（θ）=θ－tanθ，假設(shè)h（θ）在0，arctan上有兩個不同的零點(diǎn)θ1，θ2且θ1<θ2． 由于

h′（θ）=1－sec2θ，（2．4）

h″（θ）=－sec2θtanθ＜0，知h（θ）在0，arctan上是嚴(yán)格凹（即下凸）函數(shù)，而h（θ）在θ0=0處連續(xù)，因此h（θ）在0，arctan也是嚴(yán)格凹的．

又由于h（θi）=0（i=0，1，2）且0=θ0<θ1<θ2

（２）f（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)若有穩(wěn)定點(diǎn)，則是極大值點(diǎn)

若存在x0∈（0，π），使得f ′（x0）=0，則有=sin，或者

h=rx0cot． （2．5）

如圖3，在Rt△ACM中，sin∠CAM==．在△OMB′中，有∠OMB′=． 所以sin∠OMB′=sin=sin∠CAM. 因?yàn)椤螩AM、∠OMB′均為銳角，所以∠CAM=∠OMB′，A，M，B′三點(diǎn)共線． 由此得f ′（x0）=0的幾何特征是A，M，B′三點(diǎn)共線． 比較（2．2）與（2．5），此時θ=∠CAM=． 利用h=rx0cot，得

f ″（x0）=－cos=3－cos=#8226;cot2sin3－cos=sin#8226;cos2－cos=sinx0cos－#8226;cos=cos（sinx0-x0）．

因?yàn)?0，恒有f ″（x0）<0． 所以，f（x）在x0處取極大值．

（3）確定f（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)的穩(wěn)定點(diǎn)與極大值

考慮（2．4）h′（θ）=1－sec2θ=1－#8226;sec2θ，這里為方便記k=．

i．若k≥2即h≥2r>0，則h′（θ）<0，h（θ）嚴(yán)格單調(diào)遞減，又h（θ）在θ=0處連續(xù)． h（θ）

ii．若k<2即0

f（x0） =+2rcos=r#8226;+2rcos=r+2rcos=rksec+2cos.

將x0的值代入得

f（x0）=f2arccos=2r=2， （2．6）

其大小依賴于h，r（0

（４）f（x）在閉區(qū)間［0，π］上取得最值的分類討論．

如前所述，由于f（x）在（0，π）上至多有一個極值點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn)，所以f（x）在區(qū)間［0，π］上的最小值只能在閉區(qū)間端點(diǎn)處取得． 而f（0）=h+2r，f（π）=，比較它們的值得到：

i．當(dāng)hr時，沿著側(cè)面對角線（即圖3中的直線段AB，此時點(diǎn)M在點(diǎn)B）走路程最短，距離為f（x）min=f（π）=；iii． 當(dāng)h=r時，兩條路徑距離相等．

這樣就解決了前面提出的問題．

可以進(jìn)一步對f（x）取得最大值進(jìn)行討論，其實(shí)際意義是螞蟻在兩分片光滑曲面（圓柱面和平面）上，由點(diǎn)A經(jīng)點(diǎn)M到點(diǎn)B′沿測地線（圓柱螺線與直線）前進(jìn)的最大距離． 這要比較f（0），f（π），f（x0）（（x0≠0）為f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)），幾何上看就是確定圖3中三直線段ACB″、AMB′和AB的哪個長度最大．

i． 當(dāng)k≥2即h≥2r>0時，f（x0）不存在，f（0）=2r+h>f（π）=，f（0）=h+2r是最大值．

ii． 當(dāng)k<2即00，聯(lián)合解得k≥（≈1.1874），于是當(dāng)≤k<2時，f（x0）是最大值． 同理可判斷當(dāng)0

問題拓展

如圖4，有一個圓臺，在圓臺的下底圓周上的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點(diǎn)對應(yīng)的B點(diǎn)處的食物，沿圓臺表面爬行的最短路程是多少？

我們可以通過建立路徑函數(shù)研究其最值．設(shè)M是上底面圓周上一點(diǎn)，A→M→B是其中的一條路徑，A→M的最短路徑是側(cè)面展開平面上A，M兩點(diǎn)最短距離AM，M→B的最短路徑是上底面兩點(diǎn)M，B之間最短的距離MB．

如圖5，將圓臺半個側(cè)面和上底展開成平面，使它們在M點(diǎn)處相切，半個側(cè)面展開面為扇環(huán)ADBC，扇環(huán)的圓心為G，上底面圓為⊙O，圓周上和B，C對應(yīng)的點(diǎn)為B′，C′．

設(shè)圓臺母線長為h，上底面圓的半徑為r，下底面圓的半徑為R，∠C′OM=x（0≤x≤π），∠CGM=θ，則弧C′M=rx，弧CM=mθ． 設(shè)GC=m，則==，得GC=m=，GA=m+h=．在△OMB′中，MB′=2rcos． 又由于mθ=xr，故θ=x=x． 在△AMG中，由余弦定理得AM2=（h+m）2+m2－2（h+m）mcosθ，所以AM=． 令f（x）=AM+MB′，則f（x）=#8226;+2rcos． （3．1）

（1）函數(shù)（3．1）的自變量x的取值范圍

如圖6，設(shè)AE與扇環(huán)上底弧CB切于點(diǎn)E，令∠AGE=θ0，則cosθ0===，所以θ0=arccos． 設(shè)扇環(huán)ADBC的中心角為θ′=π，為圓臺側(cè)面展開的扇環(huán)中心角的一半，所以0＜θ′＜π．

自變量x的取值分以下兩種情況：當(dāng)θ′≤θ0時，0≤θ≤θ′≤θ0，即0≤x≤π≤arccos，得0≤x≤π≤#8226;arccos，這時線段AM在扇環(huán)ADBC內(nèi)；當(dāng)θ′＞θ0時，0≤θ≤θ0＜θ′，得0≤x≤#8226;arccos＜π，這時線段AM有一部分在扇環(huán)ADBC外． 當(dāng)點(diǎn)M在弧EB上時，設(shè)點(diǎn)E對應(yīng)于上底圓周上一點(diǎn)E′，AM的最短路線應(yīng)該是AE+E′M，這時f（x）=AE+E′M+MB′≥AE+E′B′，所以，只需要研究點(diǎn)M在弧CE上時f（x）的極小值即可．

綜上，0≤x≤minarccos，π．

（２）函數(shù)（3.１）的穩(wěn)定點(diǎn)分析

由于f ′（x）=－rsin，若存在x0使得f ′（x0）=0，即=rsin，（３．２）

或者=sin． 在△AMG中，由正弦定理得=，所以sin∠AMG=sin=sin∠GMB′，所以∠AMG=∠GMB′或者∠AMG+∠GMB′=180°． （3.2）的解是x0=2∠AMG或2（π－∠AMG）（取其中較小的一個）．

i．當(dāng)∠AMG=∠GMB′時，GM平分∠AMB′，如圖7，若∠GMB′＜90°，則AM有一部分在扇環(huán)ADBC外，不在f（x）的定義范圍內(nèi)，舍去；若∠GMB′=90°，則M，B′，B重合，AM與弧BC相切，θ′=θ0，即x0=arccos=π，屬于f（x）的定義范圍且是f（x）的一個穩(wěn)定點(diǎn)．

ii．當(dāng)∠AMG+∠GMB′=180°時，則A，M，B′三點(diǎn)共線，如圖8． 當(dāng)x=0時，∠GMB′=0°，由于∠AMG=180°，則x0=0也是f（x）的一個穩(wěn)定點(diǎn)．

（３）一個猜想

由于f ″（x）=－－cos． 若存在x0使得f ′（x0）=0，則=Rsinx0#8226;csc，則f ″（x0）=cotx0#8226;sin－r2cscx0#8226;sin3－cos=2（R－r）Rcosx0#8226;sin-2（R－r）r#8226;sin3-Rhsinx0#8226;coscscx0．

推到此處，有意判定f″（x0）＜0，說明f（x）在x0處取得極大值，可思考再三不得其解，希望有興趣的讀者繼續(xù)研究．

通過數(shù)學(xué)軟件反復(fù)實(shí)驗(yàn)得如下猜想：

函數(shù)f（x）在0＜x＜minarccos，π內(nèi)最多有一個極值點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn)，函數(shù)f（x）的極小值取x=0和x=min#8226;arccos，π時的函數(shù)值中的較小者．