對一道高考題引出的結論的思考

摘 要：本文在一篇文章的啟示下進行了思考，得到關于橢圓和雙曲線在一種特定關系所具有的定值. 并將此結論進行延伸，得到雙曲線和雙曲線在類似關系下也具有定值.

關鍵詞：定值；雙曲線；橢圓

作者徐道發表在《數學教學》上的《一道高考題引出的特殊橢圓》一文通過對2010年山東省高考數學卷第21題的探究，得出了如下一條結論.

定理1：若橢圓C1與雙曲線C2的頂點、焦點互置，F1，F2為橢圓C1的焦點，點P是雙曲線C2上異于頂點的任一動點，直線PF1與橢圓C1交于A，B兩點，直線PF2與橢圓C1交于C，D兩點，則+為定值的充要條件是橢圓C1的離心率e=.

該定理的前提條件是：橢圓C1與雙曲線C2的頂點、焦點互置. 如果解除這一前提條件，并且淡化點P在雙曲線C2上，只考慮點P是異于兩焦點F1，F2的任一動點，那么一定還需要橢圓的離心率為，才有+為定值嗎？

為此，設橢圓方程為：+=1，又設直線PF1與直線PF2的斜率分別為k1，k2，顯然k1與k2不可能都不存在. 若k1與k2中有一個不存在，比如k1不存在，則AB為確定值，且直線PF1的方程為：x=－c，當點P運動時，CD為變化值，+不可能為定值，反之亦然.所以，斜率k1與k2都存在.

將直線PF1的方程y=k1（x+c）代入橢圓方程+=1，整理得：

（a2k+b2）x2+2a2ckx+a2（c2k－b2）=0，

所以xA+xB=－.

再由焦半徑公式有： AB=AF1+BF1=xA+xB+e，

所以AB=－#8226;=，

同理CD=.

計算得+=#8226;+=#8226;=#8226;=+#8226;=+#8226;+，

所以當kk=1時，+為定值1，從而+為定值. 這一定值并不取決于橢圓的離心率.

反之，要+為定值，即要使+為定值，顯然不能得到kk=1. 比如+=（定值）時，只要（k－1）（k－1）=4即可. 所以說，kk=1是+為定值的充分不必要條件.

又因為點P為直線PF1與直線PF2的交點，所以聯立y=k1（x+c），y=k2（x－c） 得y2=k1k2#8226;（x2－c2）.

因為kk=1，所以k1k2=±1，于是y2= ±（x2－c2），即點P在雙曲線x2－y2=c2或在圓x2+y2=c2上（x≠±c）.

當點P在雙曲線x2－y2=c2上時，正好雙曲線的頂點（±c，0）為橢圓+=1的焦點，如果雙曲線與橢圓的頂點、焦點互置時，那么有a2=2c2，即橢圓的離心率為，這就是定理1的緣由，但由上述推導過程可以形成定理2，如下.

定理2：橢圓+=1的焦點F1，F2（其中c2=a2－b2），點P在雙曲線x2－y2=c2或在圓x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直線PF1與橢圓交于A，B兩點，直線PF2與橢圓交于C，D兩點，則+為定值.

雙曲線也有定理2的類似結論，這里不做推導，只給出結論，有興趣的讀者可參照上述推導試著證明.

定理3：雙曲線-=1的焦點F1，F2（其中c2=a2+b2），點P在雙曲線x2－y2=c2或在圓x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直線PF1與雙曲線交于A，B兩點，直線PF2與雙曲線交于C，D兩點，則+與?搖－?搖中必有一個取定值.