剖析試題背景 回歸命題本源

摘 要：解題是數學教學活動中的重要環節，但解題不能就題解題，而應透過問題表象，看清命題本源，本文以武漢市四年高三二月調考解析幾何試題為例，深度剖析命題背景，揭示構題的一般方法．

關鍵詞：命題本源；解析幾；構題

作為數學的學習與研究，如果僅僅停留在把題目答案找出來，其實是遠遠不夠的. 為解題而解題，學生數學思維能力和認知很難得到有效提高. 在數學教學過程中我們要幫助學生學會透過現象，看清命題的本源． 武漢市高三年級二月調研測試題一直廣受一線教師的關注與青睞，下面就以近四年理科解析幾何試題為例揭示命題題本源，希望對廣大教師的教學有所啟發．

例1 （2011屆）如圖1，線段AB過y軸上一點N（0，m），AB所在直線的斜率為k（k≠0），兩端點A，B到y軸的距離之差為4k． （1）求以y軸為對稱軸，過A，O，B三點的拋物線方程． （2）過拋物線的焦點F作動弦CD，過C，D兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求的值．

命題本源 如圖2，CD為拋物線x2=2py（p>0）的焦點弦，F為焦點，以C，D兩點為切點的切線交于點M，則CM⊥MD， FM⊥CD．

解答分析 此題難在第2問求式子的值，事實上若看清命題依據的性質背景，則由Rt△CMD中，根據射影定理可得FM2=CF#8226;FD，于是= －=－1.

例2 （2010屆）已知橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過左焦點F（－c，0）的直線交橢圓C于P，Q兩點，若=（1，），且+=．

（1）?搖若=λ，求實數λ的值；

（2）求橢圓C的方程．

命題本源 若PQ為橢圓+=1（a>b>0）的焦點弦，F為焦點，則+=．

解答分析 ?搖此題第2問讓很多學生空手而歸，其實由過焦點弦的兩個焦半徑之間的關系，則很容易得到=，再結合其他條件解方程組問題就會迎刃而解．

例3 （2009屆二月調考）已知橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x+y－=0與C交于A，B兩點，AB=2，且∠AOB=．

（1）求橢圓C方程；（2）若M，N是C上兩點，滿足#8226;=0，求MN的最小值．

命題本源 若M，N是橢圓+=1（a>b>0）上兩動點，O為坐標原點，若OM⊥ON，則+=+．

解答分析 第1問可得橢圓方程為+y2=1. 第2問一般學生會選擇斜率k為變量來表示MN，再利用求函數最值的方法來解決問題，要么是計算量大而出錯，要么即使函數式列對了也不會求最值. 事實上由性質可知：+=+=+1=，MN2=OM2+ON2=（OM2+ON2）#8226;#8226;+≥×4=3，故MN≥．

例4 （2008屆二月調考）過雙曲線C：x2－=1的右頂點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線AM，AN交雙曲線C于M，N兩點，其中k1，k2滿足關系式k1#8226;k2=－m2，且k1+k2≠0，k1>k2，求直線MN的斜率.

命題本源 若M，N為雙曲線－=1（a>0，b>0）上兩點，A為雙曲線頂點，直線AM，AN斜率滿足kAM#8226;kAN=－，則MN∥x軸．

分析：由性質可知MN的斜率顯然為0，此題不過是性質的具體運用而已．

以上四道調研測試題，都是從初等數學研究的成果中選取的素材，以此為基礎將其變抽象為具體，通過搭橋與構題、加工與調整而形成的試題，這是常見的一種命題途徑． 在教學過程中，通過挖掘試題命制過程中依據的性質背景，有助于透過現象看清本質，縮短思維流程，從而達到舉一反三，跳出題海，進行有效教學的目的．