與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式的解題策略

摘 要：在全國(guó)各地的高考模擬題乃至高考題中，與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式的證明題屢見(jiàn)不鮮. 本文主要給出這類問(wèn)題的處理策略：一般的模式都是給出一個(gè)含有參數(shù)而且與對(duì)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)和單調(diào)性的計(jì)算得到參數(shù)的取值范圍，然后在參數(shù)中選定一個(gè)參數(shù)，得到一個(gè)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式，最后對(duì)變量x相應(yīng)地賦值證得結(jié)論.

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)函數(shù)；不等式；參數(shù)賦值

在全國(guó)各地的高考模擬題乃至高考題中，與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式的證明題屢見(jiàn)不鮮，并且基本都是處于倒數(shù)第二題甚至是壓軸題的位置，屬于比較難的題目. 學(xué)生對(duì)于處理這類問(wèn)題普遍感覺(jué)束手無(wú)策，本文擬對(duì)這一類問(wèn)題進(jìn)行分析，希望達(dá)到拋磚引玉的目的！

特別注重選修2-2中的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)這節(jié)中B組練習(xí)題的一個(gè)處理指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題很有用的一個(gè)不等式：ex>1+x，?搖x≠0，

由它可得x≥ln（x+1）（x>－1） ①.

令x+1=t，則x=t－1，于是又得t－1>lnt?搖（t>0），即x－1>lnx?搖（x>0）；令x=（t>－1），又得到－1>ln（t>－1），即－1>－ln（t+1）（t>－1），整理、換元得1－≤ln（1+x）（x>－1） ②.

由①②聯(lián)立可得1－≤ln（1+x）≤x（x>－1），當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào). （*）

在這個(gè)不等式中我們可以對(duì)x進(jìn)行不同的賦值，就可以得到不同的不等式，如令x=，得

下面我們舉例說(shuō)明這一類問(wèn)題的解題策略.

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx－px+1.

（1）當(dāng)p>0時(shí)，若對(duì)任意的x>0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；

（2）證明：++…+<（n∈N，n≥2）.

證明分析：（2）由（1）可知lnx≤x－1（回到課本選修Ⅱ中的重要不等式ex>1+x，x≠0的變形）. 令x=n2，得lnn2≤n2－1，

所以≤=1－，因此++…+≤1－+1－+…+1－=（n－1）－++…+ <（n－1）－++…+?搖=（n－1）－－+－+…+－=（n－1）－－=.

例2 （廣東省2010屆高三六校聯(lián)考第20題）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=mx－1．

（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若n∈N*，且n>1，求證：++…+<2lnn．

證明分析：（2）由（1）可知lnx≤x－1（回到課本選修Ⅱ中的重要不等式ex>1+x，?搖x≠0的變形），故1－x≤－lnx=ln.?搖 令1－x=， 即x=2，則有

例3 （2008廣一模理科第20題）已知函數(shù)f（x）=ex－x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若n∈N*，證明：n+n+…+n+n<

分析：（2）由（1）可知ex>1+x，?搖x≠0（回到課本選修Ⅱ中的重要不等式），取x=－（i=1，2，…n），故e>－+1，從而e-i>－+1?搖，所以1－n

例4 已知f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0），

（1）討論f（x）的單調(diào)性.

（2）證明：1+#8226;1+#8226;…1+

證明分析：（2）由（1）得當(dāng)a∈（－∞，－1］時(shí)，f（x）單調(diào)遞減. 當(dāng)a=－1時(shí)，?坌x∈（0，1），恒有f（x）

ln1+#8226;1+#8226;…#8226;1+=ln1++ln1++…+ln1+<++…+<++…+=1－+－+…+－=1－<1.

因此1+#8226;1+#8226;…1+

相似練習(xí)題：知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0）.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；

（2）討論f（x）的單調(diào)性；

（3）證明：1+1+…1+<（n∈N*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

例5 ?搖已知函數(shù)f（x）=alnx－ax－3，（a∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈［1，2］，函數(shù)g（x）=x3+x2［f ′（x）+］在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（3）求證：#8226;#8226;#8226;…#8226;<（n≥2，n∈N*）

證明分析：由（1）可知，a<0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增. 當(dāng)a=－1時(shí)，?坌x∈（1，+∞），恒有f（x）>f（1）=1－3=－2，因此不等式x－1>lnx?搖在x∈（1，+∞）恒成立. 于是<，取x=k得<，所以#8226;#8226;#8226;…#8226;<#8226;#8226;…#8226;=.

例6 ?搖（2010湖北）已知函數(shù)f（x）=ax++c?搖（a>0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x－1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；

（3）證明：1+++…+>ln（n+1）+（n≥1）.

證明分析：由（2）得a≥時(shí)，f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立.

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，即x－1>lnx在［1，+∞）上恒成立. 令x=1+，有>ln1+=ln，然后累加即可.

這類問(wèn)題一般的模式都是給出一個(gè)含有參數(shù)而且與對(duì)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)和單調(diào)性的計(jì)算得到參數(shù)的取值范圍，然后在參數(shù)中選定一個(gè)參數(shù)，得到一個(gè)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式，最后對(duì)變量x相應(yīng)地賦值證得結(jié)論.