構建不等式求圓錐曲線的參數取值范圍

摘 要：本文歸納出解決圓錐曲線的參數問題的一些策略，涉及的主要突破口是從三角知識、等量關系和已知范圍、曲線的幾何性質、重要不等式、二次方程的判別式、平面幾何的有關結論構建不等式.

關鍵詞：不等式；圓錐曲線；參數范圍

圓錐曲線中變量的取值范圍或量值的確定，其背景都是一個不等關系. 如何依據解析幾何本身的特點，構建出關于參數的不等式，成為解題的關鍵和突破口. 下面舉例歸納此類問題的解題策略.

利用三角知識構建不等式

例1 橢圓+=1的焦點為F1，F2，點P為其上的動點. 當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標取值范圍.

簡析：鈍角條件可用余弦定理構建不等式，再借助第二定義簡化求解.

由余弦定理有

PF12+PF22

設點P的橫坐標為x，由第二定義得

PF1=ex+，PF2=e-x，其中e為橢圓的離心率.

代入構建不等式有e22x2+2#8226;<4c2，即x2<2a2－. 將a2=9，c2=5代入，解得所求取值范圍為－，.

利用等量關系和已知取值范圍構建不等式

例2 如圖1，梯形ABCD中，AB=2CD，點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C，D，E三點，且以A，B為焦點. 當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍.

簡析：尋求e和λ的關系，利用λ取值范圍構建含e的不等式進行求解；用λ意義和第二定義溝通e和λ的關系.

如圖，a，c，e分別為實半軸、半焦距和離心率，由第二定義AC=e+. 由λ意義，作EG⊥AB于E，CF⊥AB于F，易知==，AG=#8226;AF=#8226;.?搖

點E到左準線距離為c－AG－=c－#8226;－，由第二定義AE=e#8226;c－#8226;－. 將AC，AE代入有=，整理得λ=. 又≤λ≤，故≤≤，解得所求e的取值范圍為［，］.

利用曲線的幾何性質構建不等式

例3 橢圓+=1（a>b>0）長軸兩端點為A1，A2，若橢圓上存在一點Q，使∠A1QA2=120°，求橢圓離心率e的取值范圍.

簡析：借助夾角公式和斜率溝通e和點Q坐標的關系，利用曲線范圍構建不等式求解.

設Q（x0，y0），則b2x+a2y=a2b2. 由于∠A1QA2=120°，A1（a，0），A2（－a，0）

則=.

將x=a2－代入解得y0=. 利用橢圓范圍知y0≤b，則有b2+2ab－a2≤0，解得≤. 而e2=1－≥ 且e<1，故所求離心率e的取值范圍為，1.

利用重要不等式構建不等式

例4 試求m的取值范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m（x－3）垂直平分.

簡析：“正難則反”，假設A（x1，y1），B（x2，y2）是y=x2上關于直線y=m（x－3）對稱的兩點，則y1=x，y2=x. 帶入kAB=，又由垂直得kAB=－，于是x1+x2=－；由對稱性又可得+=m－3=m－－3=－－3m，又+=，于是x+x=－1－6m. 由于x1≠x2，所以x+x>（x1+x2）2. 構建含m的不等式有12m3+2m2+1<0，即（2m+1）#8226;（6m2－2m+1）<0. 因為6m2－2m+1>0恒成立，所以m<－. 故所求m的取值范圍為－，+∞.

利用二次方程的判別式構建不等式

例5 已知橢圓+=1和直線l：y=4x+m，問m在什么取值范圍內變化時，橢圓上總有兩點關于l對稱.

簡析：設而不解，整體代入，利用二次方程的判別式構建不等式求解.

設A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上關于l的對稱點，則AB方程為y=－x+b. 代入橢圓+=1中，有13x2－8bx+16b2－48=0. 因為x1≠x2，所以Δ=（－8b）2－4×13×（16b2－48）>0. 又由韋達定理知弦AB中點為，，且在l上，故 b=4#8226;+m，即b=－m. 代入Δ>0中，解得所求m的取值范圍為－，.

利用平面幾何有關結論構建不等式

例6 雙曲線-=1（a，b∈R+）的左、右個焦點分別為F1，F2，P是它左支上的一點. P到左準線距離為d，且使d，PF1，PF2成等比數列的點P存在，求離心率e的取值范圍.

簡析：充分利用雙曲線第一、第二定義，借助平幾中三點共線、不共線構建不等式求解. 由題設及第二定義有e==，于是PF2=ePF1，代入第一定義PF2－PF1=2a中，解出PF1=，PF2=ePF1=. 無論F1，F2，P共線、不共線，都恒有PF1+PF2≥F1F2=2c，構建不等式得+≥2c；因為e=>1，

所以2a（1+e）≥2c（e－1），即1+e≥e（e－1），解得1

由此看出，圓錐曲線中求參數范圍的問題，涉及知識面廣，變量多，綜合性強，對能力要求較高，能較好地鍛煉和培養學生的思維能力，值得重視.