對一道幾何題解法的探究與發(fā)現(xiàn)

摘 要：本文以一道幾何題解法的探究為例，闡述將問題恰當(dāng)拓展，創(chuàng)設(shè)探究的問題情境，從而發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，使復(fù)雜的問題變得簡單，以體現(xiàn)探究教學(xué)的魅力和價值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；探究；發(fā)現(xiàn)

在習(xí)題課的教學(xué)中，教師要注重解題方法的思考與探究，將問題恰當(dāng)拓展，創(chuàng)設(shè)探究的問題情境，以激發(fā)學(xué)生的探究熱情和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)動機，從而獲得新的發(fā)現(xiàn).

下面是對一道幾何題解法的探究.

例 在直徑為50 mm的球里，以直徑為軸鉆去一個底面直徑為30 mm圓柱形的孔，求這球剩余部分的體積.

根據(jù)學(xué)生在教材上學(xué)過的知識來解，只能是從球的體積減去兩個球缺的體積，然后再減去一個圓柱的體積，相當(dāng)麻煩.

在教學(xué)中，筆者先設(shè)計了如下問題：

問題1 從二底半徑分別為r1、r2，高為h的球臺里，減去有共同二底面的圓臺，求剩余部分的體積（如圖1）.

此題的解法為：所求體積V=V球臺AC-V圓臺AC

=πh（3r+3r+h2）-πh（r+r1r2+r）

=πh（r+r-2r1r2+h2）

=πh［（r2-r1）2+h2］.

在這個公式中，若設(shè)r1=0時，問題就變成：

問題2?搖 從底面半徑為r，高為h的球缺里減去有共同底面和高的圓錐，求剩余部分的體積（如圖2）.

可求得體積V=π（r2+h2）.

當(dāng)r1=r2時，就是開始的問題了，其體積公式變?yōu)閂=πh3， 運用此公式解決開始提出的問題，極為簡單，只需知道圓柱形的孔的高即可求得剩余的體積.

結(jié)論：從公式可知，從球體中鉆去以直徑為軸的圓柱形的孔，不論球體多大，只要已知圓柱孔的高，那么剩余部分的體積為定值，等于以圓柱孔高為直徑的球的體積（見圖4）.

這是一個新的發(fā)現(xiàn)！從對一道幾何題解題方法的探究，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，使復(fù)雜的問題變得簡單，讓學(xué)生體驗成功，這就是探究教學(xué)的魅力和價值.