數學教學設計要從學生的視角入手

摘 要：數學教學設計主要有兩種基本取向，即知識邏輯取向和學生認知取向. 數學教師的教學設計往往偏重于知識邏輯取向，忽視學生認知取向，從而扼殺了學生探究數學問題的心理活動過程. 本文通過對一個具體案例的對比、分析，闡述了數學教學設計要從學生的視角入手，并要注重三個“轉變”，即數學教師的心理轉變，數學知識的形態轉變和數學課堂的取向轉變.

關鍵詞：數學；教學設計；學生視角；三個“轉變”

問題提出?搖

在數學課堂教學中，經常出現這樣的情況：教師講得神采飛揚，學生聽得愁眉苦臉；教師認為是天經地義的事情，學生卻感到不可思議；每當教師講完一道題之后，學生往往要問諸如這樣的問題：老師，您是怎樣知道這道幾何題的證明要添加輔助線的？您是怎樣知道解這道題要用變換思想的？等等. 學生的這些疑問如果得不到及時解決，久而久之，就會使學生對數學知識的發生感到莫測高深，誤認為解題思路的發現似乎是妙手所得的“神來之筆”，從而感覺學好數學是“可望而不可即”的事情；即使身邊有數學成績優秀的同學，那也只是個別的“天才”. 為什么我們的數學教學會出現這樣的問題？

原因初探

筆者在課堂觀察中發現，教師的數學教學設計主要有兩種基本取向：

一種是知識邏輯取向. 這種取向，教師較多地關心數學知識的邏輯性，重在分析知識結構，分析知識因果關系，課堂上往往選擇知識發生的捷徑進行教學.

另一種是學生認知取向. 這種取向，教師較多地關心知識的建構性，重在分析學生的認知特征，針對知識生成的思維活動序列展開教學，使學生在建構知識的同時發展思維能力.

相比之下，數學教師，尤其是青年教師的教學設計往往偏重于知識邏輯取向，習慣于按照教科書的邏輯編排順序進行教學. 很少考慮按照“學生的數學學習過程是其按照自己已有的知識經驗去理解新知識的過程”這一規律去設計教學，忽視學生認知取向. 換句話說，教師習慣于從自己的“數學專業背景”的視角，而不是從“初次接觸新知識的學生”的視角去設計教學，把學生探究數學問題的千回百轉、生動活潑的心理活動過程扼殺了. 這可能是出現前面所提出的問題的主要原因之一.

課堂對比

為了進一步探討這一問題，我們選擇“利用導數研究函數極值”這一教學內容，由同一位教師分別在兩個平行班按照以下兩種不同的教學設計思路進行對比教學：

（一）甲班的教學程序：

1． 復習：（1）函數的極值概念；（2）當函數f（x）在x0處連續時，判別f（x0）是極大（小）值的方法；（3）求可導函數f（x）極值的步驟.

2． 例解：

例1 求函數f（x）＝x3－12x＋6的極值．

解：（略）

3． 拓展：

例2 已知函數f（x）＝ax3－3x2＋1－ （a∈R且a≠0），求函數f（x）的極大值與極小值．

教學過程：

教師：請同學們觀察，此題與例1有什么不同？

學生：此題函數中含有參數a．

教師：對這種含有參數的情況該怎樣處理呢？請看老師解答.

解：由題設知a≠0，f′（x）＝3ax2－6x＝3axx－． 令f ′（x）＝0得x＝0或x＝．

當a>0時，隨x的變化，f ′（x）與f（x）的變化情況如下：

所以f（x）極大值＝f（0）＝1－，

f（x）極小值＝f＝－－＋1．

當a<0時，隨x的變化，f ′（x）與f（x）的變化情況如下：

所以f（x）極大值＝f（0）＝1－，f（x）極小值＝f＝－－＋1． 綜上，當a>0時，f（x）極大值＝f（0）＝1－，f（x）極小值＝f＝ －－＋1；當a<0時，f（x）＝f（0）＝1－，f（x）＝f＝－－＋1．

4． 練習：

設函數f（x）＝x3－ax2－3a2x＋1（a∈R）．

（1）求f ′（x）的表達式；

（2）求函數f（x）的極大值和極小值．

（二）乙班的教學程序：

1． 復習：（同甲班）

2． 例解：（同甲班）

3． 拓展：

例2 已知函數f（x）＝ax3－3x2＋1－?搖 （a∈R且a≠0），求函數f（x）的極大值與極小值．

教學過程：

教師：請同學們觀察，此題與例1有什么不同？

學生：此題函數中含有參數a．

教師：對這種含有參數的情況該怎樣處理呢？請同學們自己先試一試.

教師等待學生思考，并觀察學生的解答. 5分鐘后，教師了解到如下情況：

①少數學生對這種含有參數的函數束手無策，無從下手；②一部分學生只能解到：“由題設知a≠0，f ′（x）＝3ax2－6x＝3axx－． 令f ′（x）＝0得x＝0或x＝”這一步. 由于看到x＝不是一個具體的數，所以后面的解答受阻；③另一部分學生的解答如下：由題設知a≠0，f ′（x）＝3ax2－6x＝3ax#8226;x－． 令f ′（x）＝0得x＝0或x＝． 隨x的變化，f ′（x）與f（x）的變化情況如下：所以f（x）極大值＝f（0）＝1－，f（x）極小值＝f＝－－＋1．

在學生進行了較充分的嘗試后，教師在后面兩類學生中各請一名代表——生1和生2，分別在展示平臺上展示自己的解答.

教師：請生1說說你遇到的困難是什么？我們一起幫幫你.

教師根據學生的困惑，適時引導學生通過對參數a的分類討論，比較0和的大小，滲透分類思想，并為后續解答搭建了階梯.

教師：生2的解答有一定道理，但請你結合剛才對a的分類討論，反思自己的解法是否完整？也請其他同學幫他想一想.

當學生們意識到：學生2的解答相當于只是把a當做正數來考慮時，教師再適時引導學生結合前面對參數a的分類討論情況，完整解答此例，并再一次強調分類思想在解題中的應用. 就在教師準備結束該例的講解時，學生2突然提出一個讓筆者意想不到的問題.

學生2：老師，您解答的結果與我的一樣，為什么說我的解答不完整呢？

教師心里一緊，但立即平靜下來：這個問題提得好！我們試著通過圖象來解釋這個疑問.

教師通過下面示意圖，分別對a>0和a<0時的函數極值進行直觀描述，學生發現結果貌似相同，但實則完全不一樣，進一步強調分類討論必不可少.

4． 練習：（同甲班）

（三）教學效果比較

從對學生最后解答練習題來看，出現兩種截然不同的情況：

甲班教學例2時，筆者直接講解，思路清楚明了，過程完整準確，還節省了不少時間，但從學生練習的情況看，多數學生是在模仿教師的解題步驟亦步亦趨地進行，并且只對a>0和a<0進行了討論，沒有對a＝0的情況進行討論，只有少數學生能獨立完整解答練習題.

乙班教學例2時，教師先讓學生去思考，去嘗試，碰了壁或走了彎路后，才引導學生圓滿解答此題，雖然花費了不少時間，但從學生練習的情況看，多數學生能獨立完整地解答練習題，只有少數學生是通過模仿教師的解題步驟答題.

引發思考

通過以上分析與比較，筆者提出數學教學設計要從學生的視角入手的觀點，并要注重三個“轉變”.

（一）數學教師的心理轉變

學生是學習的主體，教師不能包辦代替. 無論是知識的習得，還是能力的培養，離不開學生自己對所學知識的認識與理解，離不開學生自己對所要解決的問題的思考與分析. 因此，這就需要教師與學生進行“心理換位”. 教師要將自己假想成對新知識一無所知的學生，以此來揣摩學生知識生成的過程，從學生的視角去體會學生在學習數學知識時，心理上的那種深陷重圍的痛楚、舉步維艱的困惑、欲行又止的難局，然后有針對性地設計出利于學生學習的教學方案.

（二）數學知識的形態轉變

數學教育家張奠宙先生明確指出：“依我看，教師的任務是把知識的學術形態轉化為教育形態. 教科書里的數學知識是形式化地擺在那兒的，準確的定義、邏輯的演繹、嚴密的推理，一個字一個字線性地印在紙上. 這是知識的學術形態，學生比較難懂. 有的看懂了字面上的意思，甚至題目也會做了，卻不知道學這些數學干什么，意義何在，價值在哪兒. 好的教師，不止是講推理，更要講道理，把印在書上的數學知識轉化為學生容易接受的教育形態. 教育形態的數學，散發著數學的巨大魅力. 教師通過展示數學的美感，體現數學的價值，揭示數學的本質，感染學生，激勵學生. 這才是美好的數學教育.”

（三）數學課堂的取向轉變

由于教師經過多年的數學學習訓練，加之教材的提示，他們對所要傳授的局部知識的邏輯過程一清二楚. 因此，在進行教學設計時，他們極容易得到知識的邏輯序列，以保證所傳授數學知識的科學性、準確性. 但是，如果僅僅采用這種知識的邏輯序列，極有可能喪失數學知識所隱含的教育價值. 所以，數學教學設計應注意從單純的知識邏輯取向或學生認知取向，向二者整合的取向（即依據知識邏輯取向，偏于學生認知取向）轉變，教師在領悟知識邏輯的基礎上，分析學生的心理活動對知識的邏輯過程的適應性，使知識的邏輯序列與學生生成知識的心理序列一一對應，從而選擇一條合適的課堂教學路徑.