二元一次不等式表示平面區域的教學案例

摘 要：本文通過探究點與直線的位置關系，得出二元一次不等式表示的平面區域，進而得到二元一次不等式（組）所表示的平面區域. 在學習過程中，使學生體會到數形結合的數學思想，發展學生應用數學的意識；同時讓學生進行數學探究，體驗知識的形成、應用過程，鼓勵學生通過觀察類比發現問題、分析問題、解決問題，增強學生數學思維情趣，形成學習數學知識的積極態度.

關鍵詞：二元一次不等式；平面區域；線性規劃

線性規劃是新課程標準中新增內容，是學生對不等式、直線與方程知識的深化和綜合應用，體現了數學的工具性、應用性，同時滲透著數形結合、分類討論、化歸等基本數學思想方法． 而二元一次不等式表示的平面區域是線性規劃的起始課，是后續學習“圖解法”解決簡單線性規劃問題的基礎，所以在整個線性規劃中占有基礎性的地位．

筆者就蘇教版高中數學必修5的二元一次不等式表示的平面區域（屬于線性規劃中的內容）這一節的教學內容進行了有效“問題鏈”的設計，并通過教學實踐來嘗試．

教學過程如下：

問題情境

某工廠生產甲、乙兩種產品，生產1噸甲種產品需要A種原料4噸，B種原料12噸，產生的利潤是2萬元. 生產1噸乙種產品需要A種原料1噸，B種原料9噸，產生的利潤是1萬元. 現在庫存A種原料10噸， B種原料60噸，如何安排生產才能使利益最大？

為了處理的方便，可以用圖表1表示出相應數據：

設計劃生產甲、乙兩種產品的噸數分別是x，y，利潤為P（萬元），則實數x，y應該滿足怎樣的條件？

在條件4x+y≤10，12x+9y≤60，x≥0，y≥0，

即4x+y≤10，4x+3y≤20，x≥0，y≥0下，求P=2x+y的最大值．

符合該條件的x，y有哪些？怎樣直觀地表示它們？這是這一章所要解決的問題．

先考慮滿足第一個不等式4x+y≤10的x，y有哪些？

事實上，不等式4x+y≤10等價于4x+y=10或4x+y<10，而方程4x+y=10的幾何意義是明顯的，它表示斜率是－4，縱截距是10的直線，那么不等式4x+y<10的幾何意義又是什么呢？

引導學生回憶直線方程的概念，注意從純粹性和完備性來敘述，體現出二元一次方程的解與直線上的點的一一對應關系．

不等式4x+y<10的解集是否也能用坐標平面里的某些點組成的集合來表示呢？

學生活動

問題1 在平面直角坐標系中作出直線l：y=－4x+10和點A（1，5），B（1，6），C（1，7），D2，， E2，，若要較精確地作出這些幾何對象（直線和各點），你認為困難最大的是作出哪些點？

問題2 從圖中判斷上述五個點與直線l的位置關系，從代數的角度，你能作出解釋嗎？

問題3 你能直接判斷出點F（3，－2.1）在直線l的上方區域還是下方區域嗎？你是怎樣判斷的？

設計意圖：設計橫坐標相同的一系列點是讓學生能從點的縱坐標來看出點的“高低”，如果要判斷點A在直線l上方，還是在直線l下方，我們只要考慮直線上橫坐標與點A相同的點的縱坐標與點A的縱坐標之間的大小關系即可． 因為縱坐標大，對應的點就在上方，否則就在下方． 特別是點D2，， E2，的設計，由于這兩點“緊緊”地靠著直線l，故學生會“自覺”地去比較這兩點與直線l上橫坐標為2的點（2，2）的“高低”．

問題4 在直線l下方的點有A（1，5），D2，，F（3，－2.1），這些點的橫、縱坐標之間都滿足怎樣的關系？

預設：由三個不等式5<－4×1+10，< －4×2+10，－2.1<－4×3+10知道，這些點的橫坐標x、縱坐標y都滿足不等式y<－4x+10．

設計意圖：讓學生能從特殊情形猜想出一般結論．

建構數學

歸納：以不等式y<－4x+10的解為坐標的點在直線l：y=－4x+10下方的平面區域．

問題5 能證明這樣的事實嗎？

預設：設（x0，y0）是y<－4x+10的任意一個解，則y0<－4x0+10，記y1=－4x0+10，則點Q（x0，y1）在直線l：y=－4x+10上，由于y0

問題6 反過來，直線l：y=－4x+10的下方區域的點的坐標是否都適合不等式y<－4x+10？

預設：適合，設P（x0，y0）是直線l：y= －4x+10的下方區域上任意一點，記y1= －4x0+10，則Q（x0，y1）在直線l：y=－4x+10，而P與Q兩點橫坐標相同，則必有y0

這兩個問題的解決是較困難的，前者體現出從“數”到“形”的“翻譯”，而后者體現了從“形”到“數”的“翻譯”，應引導學生充分借助于“形”的直觀性加以認識.

設計意圖：從純粹性和完備性兩個方面，說明不等式y<－4x+10的解與直線l：y=－4x+10下方區域內的點是一一對應的．

總結：這樣不等式y<－4x+10的解就與直線l：y=－4x+10下方區域內的點建立了一一對應的關系．

主要結論：一般地，直線y=kx+b將坐標平面分成兩部分，ykx+b表示直線上方的平面區域．

評注：首先，從學生的認知規律出發，因為學生對具體的問題認識要遠比抽象問題的認識更容易，上述主要結論的證明與剛才解決的特殊問題的方法完全一致，只不過是用字母代替具體的數字而已，因此只要簡要說明即可，不必展開． 其次，為了對這個一般結論加深理解，我們可以與實數x0對應的點把數軸分成兩部分這個基本事實作類比，該點可以用x=x0來表示，該點的右側部分用x>x0表示，而左側部分用x

問題7 不等式3x+y+1>0所表示的平面區域是什么？進一步如何確定二元一次不等式Ax+By+C>0（B≠0）表示的平面區域？

設計意圖：深化所學知識，讓學生能運用化歸的思想，將問題轉化成上面的y>kx+b或者y

數學應用

例1 畫出下列不等式所表示的平面區域：（1）4x+3y<20； （2）y≥0；（3）x≥0．

思考：你能畫出之前所提出的如何安排生產甲、乙兩種產品中的約束條件4x+y≤10，4x+3y≤20，x≥0，y≥0所表示的平面區域嗎？

設計意圖：這里例題的設計也屬于問題的設計范疇． 例1通過應用主要結論達到鞏固結論的目的． 第1問的解決體現出化歸的基本思想，第2問是以x軸為邊界的區域，第3問是一個特殊的情形，以y軸為邊界的右方區域． 實際上，情境中的第3、4個約束條件已經解決，第1、2個也已基本解決，學生很容易聯想，要同時滿足四個不等式，只要找相應的四個平面區域的公共部分即可． 這樣做的目的是可以“回歸”到問題情境，將問題情境這個資源利用得更加充分，注重前后的呼應. 同時還為下一節課，二元一次不等式組表示的平面區域，埋下伏筆． 但值得注意的是這里只要讓學生有一個直觀的認識即可，不必詳述平面區域的公共部分如何與不等式組的解集之間是對應的，否則就會“喧賓奪主”．

例2 將下列各圖中的平面區域（陰影部分）用不等式表示出來．

設計意圖：本題是讓學生通過區域寫出相應的不等式，屬于“識圖”問題，目的是進一步鞏固所學知識．在問題解決之后，可以問學生原點是否在所示區域內？在第1個陰影區域，但不在第2個陰影區域中.由此介紹一些定區域的特殊方式“選點法”：直線定界，特殊點定域．

課堂總結

（1）本節課的主要內容：如何畫出二元一次不等式表示的區域；

（2）本節課的主要數學思想方法：數形結合、分類討論、化歸等．

對于這節課，筆者也作了些思考．本節內容中建構數學理論部分常見的處理方法是：基于從具體到抽象，從特殊到一般的原則，先給出若干個點的坐標，和一條直線y=kx+b，判斷這些點與直線的位置關系，然后通過不完全歸納的方式得到在該直線上方（下方）的點的橫縱坐標具有的不等關系，在這個過程中教師一般會要求學生就點的坐標（x，y）來比較y與kx+b的大?。?但這樣比較大小就不再是學生的一種“自覺”的行為，教師卻有將結論“誘導”于學生之嫌． 為將這里的比較大小成為學生的一種“自覺”的行為，本案例中設計的問題1就可以達到這樣的目的． 而問題2是問題1的引申，從代數角度去解釋剛才學生自己“自覺”地去比較大小的行為. 緊接著的問題3又是對問題2所得的結論的鞏固，從“數”的角度直接去判斷位置關系． 前三個問題的設計，緊緊抓住這節課所要解決的主要問題． 問題1中設計了橫坐標相同的一些點可以為后面學生順利解決問題5和問題6做好鋪墊．問題4可以讓學生采用從特殊到一般的不完全歸納方法得出相應的結論．而最后的問題7是對這節課的主要結論的一個引申，學生可以通過化歸的方法轉化成主要的結論． 這些問題組成的“問題鏈”，是按照教材的知識結構和學生的認知發展規律，將有一定難度的問題分解成幾個相互聯系的小問題，由淺入深，步步深入，環環相扣，逐步將學生的思維引向深入．