基于“過程”教育觀的“一元二次方程”教學探索及反思

摘 要：在反思當前數學課堂教學的基礎上，以具體課例為載體，采用研究性變革實踐的方式，對如何貫徹“過程”教育觀進行了探索． 初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法對貫徹“過程”教育觀有積極作用．

關鍵詞：初中數學；“過程”教育觀；教學操作

“過程”教育觀是對教育中“過程”與“結果”的辯證關系的一種看法． 初中數學“過程”教育觀的基本觀點是：“過程”，如概念的形成過程、原理的發(fā)現與推導過程、解法或證法的思考過程、問題解決后的反思過程等，是數學課程內容的一部分，特別是數學思維和思想的展開過程是數學的重要內容． 但在浙江省奉化市莼湖中學舉行的以浙教版《義務教育課程標準實驗教科書#8226;數學》八年級下冊“2.1一元二次方程（1）”為載體的“同課異構”式課堂教學研討活動中發(fā)現：課堂教學存在著共同的問題：“過程”短暫或缺失． 這有悖于“過程”教育觀，不能滿足學生和諧發(fā)展的需要． 基于此，我們對這節(jié)課的教學進行了進一步的探索． 初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法，對貫徹“過程”教育觀有積極的作用． 本文簡錄其教學過程，并提供教后反思，供讀者參考、研究．

教學過程簡錄

第1階段：以探索有價值“數學題材”為載體的具體活動

環(huán)節(jié)1：課前預習——自主探索

課前，教師設計如下的“先行組織者”供學生課前預習，允許合作研討．

（1）操作：根據題意列出關于未知數x的方程．

①某種包裝盒的表面展開圖如圖1（單位：cm）．若包裝盒的容積為750 cm3，則圖中x應滿足怎樣的方程？

圖1

②奉化大堰特產“紫花生”進入了豐收期． 據調查2009年收購價是4元/斤，2011年收購價是5元/斤． 若設單價平均每年上升的百分率為x，則x應滿足怎樣的方程？

③長5 m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3 m． 如果梯子底端向右滑動的距離與梯子頂端向下滑動的距離相等． 若設梯子滑動的距離為x，則x應滿足怎樣的方程？

（２）反思：先回顧列方程的過程，再思考下列問題．

①列上述方程體現了什么思想？其數學本質是什么？

②求上述未知數是用算術方法簡單，還是用方程方法簡單？為什么？

③通過列上述方程有何感觸？你認為進一步需要研究哪些問題？

環(huán)節(jié)2：匯報交流——矯正互學

上課一開始，教師出示課前布置的問題，并要求學生匯報預習成果． 同時教師傾聽學生的匯報交流，必要時，教師進行追問、激勵與評析． 在此基礎上，教師進行總結．

（1）題①中的x應滿足的方程是：（15－x）x×15=750，即x2－15x+50=0；題②中的x應滿足的方程是：4（1+x）2=5，即4x2+8x－1=0；題③中的x應滿足的方程是：（3+x）2+（4－x）2=25，即x2－x=0．

（2）列上述方程體現了方程思想，其思想的數學本質是：為了認識“未知數先生”， 請“已知數先生”為媒介，找到一種數量之間的相等關系，根據相等關系來認識“未知數先生”．

（3）列算式時，未知數沒有參加運算，思維要求較高；列方程時，未知數參加了運算，思維要求相對較低． 但用算術方法運算相對簡單；而用方程方法解方程比較復雜．

（4）通過列上述方程足以說明這類方程也是刻畫現實世界數量相等關系的數學模型． 認識這類方程需要解決兩個問題：這類方程的概念如何界定？怎樣求這類方程的解？

第2階段：以生成“數學方法和理論”為目的的引導探究

環(huán)節(jié)3：引導探究——合作研討

既然形如上述方程是刻畫現實世界數量相等關系的數學模型，就決定了從數學角度來認識這類方程的必要性． 這節(jié)課的研究對象就是這類方程（揭示課題）．

接著，教師提出以下具有挑戰(zhàn)性的問題.

問題：方程（15－x）x×15=750，4（1+x）2=5，（3+x）2+（4－x）2=25有何共同特點？請大家合作研討并發(fā)表自己的觀點．

提示：可從字母的個數和次數、代數式的類型、整理后方程的形式等多個視角進行觀察．

以下是學生獨立學習基礎上的小組合作交流后的匯報結果：

它們都含有一個未知數，且未知數的最高次數是2；它們左右兩邊都是整式；它們整理后都可以寫成：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，且a≠0）的形式；它們都不是一元一次方程．

非常好！在變化中尋求不變性是研究數學的基本思想，但尋求不變性需要運用科學的方法． 字母的個數和次數、代數式的類型、整理后方程的形式等是尋找這些方程共同特點的主要視角．

環(huán)節(jié)4：建構理論——綜合概括

在此基礎上，教師給出一元二次方程及其解的概念、一元二次方程的一般形式及二次項、一次項、常數項和二次項系數、一次項系數的概念，并指出一元二次方程與一元一次方程和二元一次方程的異同點．

（1）一元二次方程的概念：像（15－x）x×15=750，4（1+x）2=5，（3+x）2+（4－x）2=25這樣，兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的方程叫做一元二次方程． 能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解或根．

（2）一元二次方程的一般形式：把ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，且a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數．

（3）一元二次方程與一元一次方程和二元一次方程的異同點：相同點——它們都是特殊的方程且都是刻畫現實世界數量相等關系的數學模型；不同點——未知數的個數不同（一元二次方程和一元一次方程只有一個未知數，而二元一次方程有兩個未知數），未知數的次數不同（一元一次方程和二元一次方程未知數的最高次數是1，而一元二次方程未知數的最高次數是2），解的個數不同（一元一次方程最多只有一個解，一元二次方程最多有兩個解，而二元一次方程有無數個解）．

第3階段：以解決“具體問題”為載體的數學應用

環(huán)節(jié)５：嘗試運用——檢測評價

接著，教師提出3個問題，要求學生在獨立學習基礎上交流合作． 必要時，教師進行積極的認知干預及解題過程示范．

問題1（概念辨別）：下列方程哪些是一元二次方程？

（1）10x2=9；（2）2（x-1）=3x； （3）2x2-3x-1=0； （4）+－2=0；（5）2xy-7=0； （6）9x2=5-4x；?搖（7）4x2=5x；?搖?搖（8）3y2+4=5y．

問題2（規(guī)則運用）：用有關概念解決下列問題：

（1）若關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，則a的值是什么？

（2）下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項分別是什么？

①2x2-3x-1=0；②3y2+4=5y；

③9x2=-4x；④10x2=9；⑤3y2=0．

問題3（問題解決）：綜合運用有關知識與經驗解決下列問題：

（1）在一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，且a≠0）中，為什么要規(guī)定a≠0？為什么不規(guī)定b和c也必須不為零？

（2）設計一個形狀是底面為正方形的直棱柱水箱，要求底面能承受的最大壓強為49 kPa，最大裝水量為10 t． 問：①當水箱底面承受壓強達最大限度時，水箱的內底面邊長x（m）應滿足怎樣的方程？②這個方程的根是什么？其實際意義是什么？

環(huán)節(jié)6：反思拓展——深化認識

在有代表性的問題引導下的學生獨立學習和師生交流合作的基礎上，教師提出以下反思性問題，要求學生在思考基礎上交流．

問題1：判斷所給的方程是不是一元二次方程的依據是什么？

問題2：已知方程的根，求a的值． 解題的依據是什么？

問題3：求二次項系數、一次項系數和常數項的方法（步驟）是什么？

問題4：解決水箱問題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

第4階段：以交流“問題清單”內容為載體的反思總結

環(huán)節(jié)7：回顧思考——交流合作

教師在解題后反思的基礎上，列下“問題清單”，要求學生在思考的基礎上匯報．

（1）一元二次方程及其根的概念是什么？學習一元二次方程有何意義？

（2）一元二次方程的一般形式是什么？怎樣求二次項系數、一次項系數和常數項？

（3）一元二次方程與一元一次方程和二元一次方程有何區(qū)別與聯系？

（4）用一元二次方程解決實際問題的思想方法是什么？

（5）你在學習過程中獲得了哪些數學活動的經驗？有何感觸？

環(huán)節(jié)8：歸納提煉——課堂總結

教師在傾聽學生匯報后，讓學生欣賞一元二次方程的自述，這部分內容可以移至課后：

Hi！我是一元二次方程． 我與一元一次方程和二元一次方程一樣是一類特殊形式的方程． 我的特點是只有一個未知數且未知數的最高次數是２的整式方程，我的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，且a≠0），以后你會知道化我為這種形式有許多好處，所以你要掌握求二次項系數、一次項系數和常數項的方法． 之所以人們喜歡我，是因為我是刻畫現實世界數量相等關系的重要數學模型． 用我解決實際問題的方法（步驟）是：①審題——提取問題中的數量信息（如已知量、未知量、條件等），審題的關鍵是正確理解問題中的關鍵性語句；②分析——理清問題中的數量關系（特別是相等關系），分析的關鍵是借用圖表、圖形、式子等工具使數量關系明朗化；③建模——適當引進字母（設未知數的方法有兩種：一是直接法，二是間接法），將實際問題轉化為我的形式，視角不同得到我的形式可能也不同；④解?！脭祵W方法求我的解；⑤還原——由我的解（提供方案），回答實際問題的答案；⑥反思——問題解決后的回顧與思考（發(fā)散——模型及解法是否具有多樣性；評價——哪種模型或解法最有價值；引申——問題能否進一步拓展；詮釋——模型能否賦予不同的意義）． 你在后繼學習中會知道，求我的解有許多方法． 告訴你：認識我要關注我的一般形式，要重視用我解決實際問題的思想方法，要學會用數學方法求我的解，你可以類比認識一元一次方程的方法來認識我，你在認識我的過程中，還能發(fā)展智力、能力和個性．

教后反思

本節(jié)課實施后聽課教師是這樣評價的：說書人式的導入新課不見了，取而代之的是有價值初始問題引導下的學生獨立學習和獨立學習基礎上的交流合作，看到了來自于學生內部的素材和信息；單純的教師講授消失了，取而代之的是具有挑戰(zhàn)性問題引導下的合作研討和研討基礎上的教師概括，學生的思維和思想得到了充分的展示；“大容量、快節(jié)奏、高強度”的變式應用削弱了，取而代之的是評價性問題引導下的適度應用，學生理解與練習更和諧了；單一的教師概括或讓學生談學習后的收獲與感受的課堂總結改變了，取而代之的是“問題清單”引導下的學生回顧與思考和思考基礎上的交流合作及教師總結，學生認識更全面了，理解更深入了，科學素養(yǎng)和元認知能力也得到了發(fā)展．

之所以課堂教學發(fā)生了有效變化，是因為依據“過程”教育觀執(zhí)行了以下教學操作．

（1）依據“規(guī)律”構建教學結構． 這節(jié)課教學過程結構的構建依據是數學發(fā)展規(guī)律、學生學習數學的認知規(guī)律和教育的規(guī)律． 它是一個“具體（以探索有價值“數學題材”為載體的具體活動）→抽象（以生成“數學方法和理論”為目的的引導探究）→具體（以解決“具體問題”為載體的數學應用）”的自然、簡單、動態(tài)、和諧的過程，是一個以數學知識發(fā)生發(fā)展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數學活動過程． 這是貫徹“過程”教育觀的前提．

（2）用合適的問題來驅動學生思考． 思維和思想的展開過程始于問題，設計一些具有一定思考性、探索性、思想性、趣味性的或能引起學生認知沖突的問題與討論作業(yè)等是引發(fā)學生思考的支持性條件． 這節(jié)課：初始問題含有新知識的“生長點”且具有定向指導性． 探究性問題關注了四性：必要性——內容是否有探究的必要；目的性——探究目標是否明確；可操作性——學生是否有思維前進的方向；有效性——能否引發(fā)學生積極思維． 應用性問題有代表性且能發(fā)揮其“示范性”與“發(fā)展性”，特別是問題情景要具有現實性． 反思性問題有利于學生加深認識. 這是貫徹“過程”教育觀的策略．

（3）用適度引導來促進學生思維． 要求學生經歷過程中的思維站點，有時需要教師價值引導． 引導的策略有：在新舊知識的銜接處“導”；在重難點知識的關鍵處“導”；在操作探究的迷惘處“導”；在思維障礙處“導”． 引導的方法有：思維跨度大時的問題暗示；困惑或認識模糊時的點撥；思維受阻時的“元認知提示語”發(fā)問；思維混亂時的辨析；思維偏離方向時的干預；觀念碰撞時的評價；方法多樣化時的價值分析；回答不完善時的追問；回答有創(chuàng)意時的激勵等． 引導的技巧有：用系統(tǒng)連貫的“問題清單”或設置問題的提示語；用直觀演示或有啟發(fā)性的語言；用化歸的方法或以“退”求“進”的策略；用反思性問題、激勵性語言等． 這是貫徹“過程”教育觀的方法．

（4）用適時的互動來加深學生理解． 個人根據自己的知識和經驗所建構的對外部世界的理解是不同的，也存在著局限性，通過有意義的共享和協(xié)調，才能使理解更加準確、豐富和全面，并能通過“成人”而“成事”，通過“成事”而“成人”． 傳統(tǒng)教學的最大弊端是信息單向傳遞，缺乏雙方互動的話語交集. 而采用獨立思考基礎上的交流合作的方式，能從傳統(tǒng)教學中學生處于“被動”“盲從”“旁觀”的狀態(tài)轉變?yōu)椤蔼毩⒆杂伞薄捌降葘υ挕薄胺e極互動”的學習狀態(tài)． 這節(jié)課采用了“實施三分鐘停頓”、激活小組學習、教師充當學生學習的促進者、指導者和合作者，營造情感體驗的“氛圍”，實施“積極的認知干預”，設置判斷學生對知識的真正理解和掌握情況的問題等策略． 這是貫徹“過程”教育觀的技巧．

（5）用課前預習來提供保障． 課前預習有價值的“先行組織者”有這樣一些功能：它可以充當由已知通向未知的橋梁；它能為學習新知識提供先備條件，使不同層次的學生在學習新知識之前達到學習新知識所需要的大致統(tǒng)一的知識水平；它有利于學生打開理性思維的“閘門”；它有利于解決經歷過程對按時完成教學任務帶來挑戰(zhàn)的矛盾；它有利于在“抽象”階段形成多邊思維碰撞的學習狀態(tài)；它有利于調動學生探求新知的積極性和自覺性，使數學學習成為學生的一種期待成為可能． 這對貫徹“過程”教育觀有積極的作用．