習(xí)題的價(jià)值在探究中升華

習(xí)題是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力的主要載體，是提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題能力的有效工具。只要認(rèn)真地鉆研教材，仔細(xì)地研讀習(xí)題，充分挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，就能最大限度地利用習(xí)題的價(jià)值，發(fā)揮習(xí)題的功能，使練習(xí)的目的從淺層走向深刻，從狹隘走向廣闊。

這是蘇教二年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)圖形》單元的一道練習(xí)題。（如圖1）

（圖1）

教參在《教材說(shuō)明》欄中對(duì)此題的描述是這樣的：“讓學(xué)生分別把四邊形、五邊形和六邊形都分成三角形，看最少能分成幾個(gè)，使學(xué)生在操作中進(jìn)一步把握有關(guān)平面圖形的基本特征。”教參還在習(xí)題右邊附了說(shuō)明：“第5題中，平行四邊形最少能分成2個(gè)三角形，五邊形最少能分成3個(gè)三角形，六邊形最少能分成4個(gè)三角形。”

近幾年，由于開展對(duì)習(xí)題功能發(fā)揮的研究。再讀教參，“使學(xué)生進(jìn)一步把握有關(guān)平面圖形的基本特征”這句話引起我的思考：教材提供三種圖形，僅僅是為了得到“平行四邊形最少能分成2個(gè)三角形，五邊形最少能分成3個(gè)三角形，六邊形最少能分成4個(gè)三角形”這一結(jié)論？在自我拷問(wèn)中結(jié)論也越來(lái)越明：教材安排此題的目的是讓學(xué)生初步感知“任一多邊形（正多邊形或接近正多邊形）分出最少三角形的個(gè)數(shù)總是比邊數(shù)少2”。得出此結(jié)論，是否就此打住？可不可以讓學(xué)生知其然并知其所以然？對(duì)“三角形個(gè)數(shù)比多邊形邊數(shù)少2”這一規(guī)律的形成可否再作探討？帶著這個(gè)問(wèn)題我開始了教學(xué)嘗試。

教學(xué)回放：

一、自主操作，完成填空

1. 分析題意。

（指名讀題。）師：讀了題目，你認(rèn)為題目中哪些字（詞）最重要？

生1：三角形。

生2：都分成三角形。

生3：我認(rèn)為是“最少”。

師：是的，首先我們要弄懂題意，不管是幾邊形，都要求我們分成三角形，而且要求分成的三角形個(gè)數(shù)最少（板書：最少）。現(xiàn)在我們就來(lái)動(dòng)手分一分，比一比哪個(gè)小朋友能將每個(gè)圖形分出最少的三角形！

2. 學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視，對(duì)個(gè)別同學(xué)予以指導(dǎo)。

3. 展示并板書學(xué)生分三角形的結(jié)果。

二、觀察比較，探究規(guī)律

1. 觀察板書，尋找規(guī)律。

四邊形 2

五邊形 最少分 3 個(gè)三角形

六邊形 4

生4：分成三角形的個(gè)數(shù)越來(lái)越多，每次多1個(gè)。

生5：多了一條邊就多分一個(gè)三角形。

師：對(duì)！這個(gè)規(guī)律很重要！橫著看，能否看出什么？

生6：四邊形最少分2個(gè)三角形，五邊形最少分3個(gè)三角形，六邊形最少分4個(gè)三角形。

生7：分的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2！

師板書：三角形的個(gè)數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2。

2. 根據(jù)規(guī)律進(jìn)行猜想驗(yàn)證。

（1）猜想七邊形最少分成三角形的個(gè)數(shù)。

師：剛才有小朋友說(shuō)，分成的三角形個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2，這個(gè)規(guī)律對(duì)其它多邊形是不是也適用呢？如果是七邊形，根據(jù)這個(gè)規(guī)律最少能分幾個(gè)三角形呢？

生8：最少能分成5個(gè)三角形。

師操作演示。（為方便敘述，將圖形各頂點(diǎn)標(biāo)上字母）

師：小朋友們猜七邊形最少能分成5個(gè)三角形，根據(jù)這幅圖告訴老師，你們猜得對(duì)嗎？（如圖2）

生：對(duì)！

師：想一想，剛才老師是怎么畫的？

生9：從B點(diǎn)開始畫，先畫到G，分出一個(gè)三角形（△BAG），再?gòu)腂連到F，又分出一個(gè)三角形（△BGF），最后是B連到D（△BCD）。

生10：老師是按順序連線的，老師還問(wèn)我們能不能連到A？

師：是的，B到A是一條直的線，不能形成一個(gè)三角形，所以我們連到G。按著順序找點(diǎn)，最后分出了5個(gè)三角形，這就像坐環(huán)城公交，從B站點(diǎn)出發(fā)，到A、到G、到F……

為什么每條線都從B點(diǎn)出發(fā)呢？

生11：這樣連起來(lái)方便，不會(huì)亂。

生12：也不會(huì)分多了！

師：如果從A點(diǎn)出發(fā)，是不是也分成5個(gè)三角形呢？還可以從哪些點(diǎn)出發(fā)？

生13：從A出發(fā)也能分5個(gè)三角形，還可以從C點(diǎn)、D點(diǎn)、E點(diǎn)、F點(diǎn)、G點(diǎn)出發(fā)。

生14：就像坐公交車，從哪個(gè)站點(diǎn)都可以坐。

師：只不過(guò)我們這輛公交車很特殊，不分起點(diǎn)和終點(diǎn)，隨便哪個(gè)點(diǎn)都能做起點(diǎn)，也都能做終點(diǎn)。但既然選定了一個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，中途就不能再選其它點(diǎn)作為起點(diǎn)！

三、深入研究，提升思維

師：老師有一個(gè)問(wèn)題搞不明白，為什么分出的三角形的個(gè)數(shù)都比邊的條數(shù)少2呢？

（生獨(dú)立思考后在小組討論，一分多鐘后有學(xué)生舉手。）

生15：老師，我知道！你看那個(gè)八邊形（如圖3），從A點(diǎn)，連到C可以分一個(gè)三角形，連到D又分一個(gè)三角形，最后連到G一共分了5個(gè)三角形。

生16：不對(duì)，是6個(gè)三角形，分到最后時(shí)，還有一個(gè)要算上。

師指著圖，解釋每次分出1個(gè)，最后卻是6個(gè)的原因。

生17：從A點(diǎn)往其它點(diǎn)畫，只能畫5條線，所以就分6個(gè)三角形。

師：是的，“點(diǎn)到點(diǎn)”連線，在一個(gè)點(diǎn)和圖上其它點(diǎn)間連線，A點(diǎn)不好再和跟它做鄰居的兩個(gè)點(diǎn)B、H連，所以只能連5條線，分出6個(gè)三角形。

師：八邊形只能畫5條線，其它多邊形能畫多少條線呢？

生：四邊形能畫1條線。

生：五邊形能畫2條線。

……

師：這些多邊形，從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)向其它點(diǎn)連線，連的線都比邊數(shù)少幾？

生：比邊數(shù)少3。

師：為什么少3？

學(xué)生討論得出：因?yàn)椴荒芎妥约哼B，不能和相鄰的兩個(gè)點(diǎn)連，所以能連的點(diǎn)比多邊形的頂點(diǎn)少3，也就少3條線。

師：是的，線數(shù)=邊數(shù)-3，三角形的個(gè)數(shù)，總比連的線數(shù)多1，三角形個(gè)數(shù)=邊數(shù)-2。

教學(xué)總結(jié)：

從以上教學(xué)過(guò)程看，我并沒(méi)有停留于習(xí)題表面，以學(xué)生完成習(xí)題為目的。而是鉆研習(xí)題，深度挖掘習(xí)題的價(jià)值。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)由對(duì)四邊形、五邊形、六邊形的操作、觀察、比較，探究可能具有的規(guī)律，再到應(yīng)用規(guī)律對(duì)七邊形、八邊形的猜想、驗(yàn)證，接著到對(duì)更多邊形的猜想。最后提出深層問(wèn)題：“為什么會(huì)具有這樣的規(guī)律？”逐層深化，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生在教師的有效引領(lǐng)下，經(jīng)歷了操作、觀察、分析、比較、猜想、驗(yàn)證、歸納、概括的過(guò)程，初步體驗(yàn)從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中探索出一般的數(shù)學(xué)規(guī)律和方法。特別是對(duì)“分成的三角形個(gè)數(shù)為什么比邊數(shù)少2的追問(wèn)”，引導(dǎo)學(xué)生由現(xiàn)象追溯本質(zhì)，一次體驗(yàn)數(shù)學(xué)魅力、體驗(yàn)探究成功的機(jī)會(huì)。習(xí)題的價(jià)值在探究中得到升華！