對數學定義教學的一點思考

【摘 要】數學定義在數學學科中是極為重要的，是深入理解數學理論第一步，是進一步掌握數學概念內涵（相關性質、定理等）和外延（概念分類等）的基礎。本文從什么是數學定義，數學定義的常見方式及一般教學思路，數學定義的一般教學手段，教師如何對定義備課這三個方面入手，目的是為教師教學和學生學習提供一些建議。

【關 鍵 詞】數學定義；課堂教學；定義備課

一、什么是數學定義

首先，說明什么是數學概念：它是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從數學所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質屬性概括而形成的。在數學中反映數和形本質屬性的數字、圖形、符號、名詞術語和定義、法則等都是數學概念。

數學概念通常包括四個方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。以概念“圓”為例，詞“圓”是概念的名稱；“到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓”是概念的定義；符合定義特征的具體圖形都是“圓”的例子，稱為正例，否則叫反例；“圓”的屬性有：是平面圖形、封閉的、存在一個圓心、圓心到圓上各點的距離為定長（半徑），等等。

從上面我們知道，數學定義是數學概念的一部分，它是通過列出一個事物或者一個物件的基本屬性來描寫或者規范一個詞或者一個概念的意義。它只是指出了事物的基本屬性，但不包括全部屬性。

二、數學定義的常見方式及一般教學思路

1. 約定式定義法。約定式定義都是對某一具體代數式加以定義，并且這些代數式具有明確的理論背景，而并不是強加的，所以我覺得要立足于已有知識的基礎上，挖掘定義的背景以及定義本身的含義，使學生相信數學是自然的、科學的，定義也是正確的。

具體包括：講解定義的推導過程，如零指數冪，組合數；講解定義的應用意義：如，平均數代表和理解一組數據的一個代表值，方差表示一組數的方差表示了這一組數的分布范圍的大小；定義名稱由來：如“方差”、“自然對數”、“頻數”。

2. 直覺定義法。對于原始定義都采用直覺定義法，中學數學中涉及到的原始定義有：元素、集合、對應、點、直線、平面、空間、數、量等。

由于學生在生活中對這些定義已經有了一些大概的認識，但還沒能抽象成數學概念，所以我們只需在這基礎上再多舉實例（也可讓學生舉例），從多個角度進一步強化認識，最后將這些概念轉化成模型刻在腦中。

我覺得對這些概念的認識不可能一步到位，要讓學生在之后的學習中慢慢領會；這些概念看似容易理解，甚至沒什么特別需要強調的，但教師反而要重視起來，有機會就加以滲透，因為這些概念是所有概念的基礎。

3. 構造式定義法。構造式定義是因為定義本身可以從運動的角度去理解，比如圓錐曲線，圓的定義。我覺得這類定義的講解要重視以下幾方面：（1）演示過程，比如用繩子、鉛筆等工具演示橢圓的形成過程；（2）講清運動的過程，包括運動的元素、途徑、限制條件分別是什么；運動過程分成哪些主要步驟；（3）讓學生學會用比較精煉準確的語言描述過程；（4）從圖形和語言中抽象出代數表達式，找出其本質的數學含義，以便在推理證明中應用；（5）最后將自己歸納的語言和書中定義做一個比較，分析哪些不同之處，進一步理解定義的本質。

4. “屬+種差”定義法。這種定義是基于屬概念得到的新概念，是屬概念中的一部分，由種差確定，所以教學中：（1）要強調屬概念的定義，做一個一個復習回顧，為新概念理解做好鋪墊；（2）在屬概念的基礎上強調“種差”，即特殊性質，和其他同在一個屬概念中的概念加以區分，如果種差有幾條，不防用1、2、3等符號標注出來，以區別不同性質，加深理解和記憶。

5. 逆式定義法。逆式定義給出了數學概念的分類，在教學中我們要注意：（1）每一類的具體定義是什么，這是基礎，要充分的講解和舉例；（2）分類的依據什么，讓學生檢驗分類是否不重不漏；（3）類別名稱要說全，不能有遺漏；（4）給出最終的定義，說明名稱的由來。

6. 刻畫性定義法。刻畫性定義在中學階段并不多，因為它們是基于近代數學誕生的相對嚴格的定義，較其他定義更為抽象，描述的語言符號也繁雜，如函數、函數極限、數列極限概念等。高中最為重要的一個概念就是函數，在經歷了初中從“運動變化”的角度定義函數之后，高中從“集合對應”的角度定義，使其囊括更多的函數，也更加接近函數的數學本質。

7. 一般的哲學思想在講解定義中應用。以上六點只是針對具體問題而言，孤立的處理了定義教學，定義之間的異同也要講解清楚，我們知道比較、辨別、分類、歸納、猜想、抽象、概括、聯想等是研究科學的普遍思維，在定義教學中也不容忽視。

（1）區別近似概念，突出關鍵屬性，注意相關屬性，分析定義的本質屬性和非本質屬性；（2）對定義加以變形，如顛倒條件和結論，去掉、增加、改變條件，進行定義的辨別；（3）了解定義背景，全面掌握相關只是，知道定義在整個體系中的位置，并注意與其它知識的聯系；（4）分層理解定義，如將條件結論分層，或按照主謂賓分層；（5）從特殊入手，講具體升華為抽象，得出一般性的定義；（6）設想定義的存在性和合理性；（7）對定義進行聯想和類比；（8）正反舉例比較。

其它定義法在中學比較少見，我們就不一一贅述了。上述七條可以互相補充。

三、數學定義的一般教學手段

上文介紹了定義教學的思路，具體實施時采取不同的手段和方法對教學效果也有很大影響。

1. 多媒體演示。利用現代化的教學手段，在教學時配上精美的PPT或動畫演示，可以加深學生對定義內容的認識。

2. 圖像法。有些定義可以通過圖像加深理解，如二次函數、指數函數、對數函數、直線垂直于平面等的定義，在教學時不放發揮圖像的作用，使其從形象的圖像入手，加深理解。

3. 動手操作。有些定義可以通過動手操作理解，比如橢圓、雙曲線、拋物線的定義，根據定義中的的步驟演示一遍，同樣會加深記憶。

4. 讓學生自己歸納定義。對于某些學生比較熟悉的數學定義，可以讓學生自己概括，再與書本對照不同之處，修改后就會領會數學定義的本質。

四、教師如何對定義備課

1. 正確地理解概念。正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。而當前我國數學教學中的突出問題，恰好是把掌握數學基礎，即數學概念的正確理解給忽視了。一方面是教材低估了學生的理解能力，為了“減負”，淡化甚至回避一些較難理解的基本概念；另一方面，“題海戰術”式的應試策略，使教師沒有充分的時間和精力去研究概念。

2. 要準確把握不同概念的區別和聯系。數學知識的系統性很強，數學概念也不是孤立的，教師應從有關概念的邏輯聯系和區別中，引導學生理解相關的數學概念，從而在學生頭腦中形成一個比較完整準確的概念體系。利用這些內在聯系，可把這些簡單體的性質，有關計算公式都歸納為一體，便于學生理解和記憶。

3. 還要在尋找新舊概念之間聯系的基礎上掌握概念。數學中有許多概念都有著密切的聯系，如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數、對立事件與互斥事件等等，在教學中應善于尋找、分析其聯系與區別，有利于學生掌握概念的本質。

參考文獻：

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[4]李匯渠.如何講解數學概念.http：//blog.sina.com.cn/s/

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