估算情感與整數估算策略關系研究

【摘 要】本研究隨機選取某校40名小學三年級學生參與估算情感問卷調查與估算測試，其中有15名學生用口語報告法進行估算測試，對估算情感與整數估算策略關系進行了探討，以期為估算教學提供參考。

【關 鍵 詞】估算情感；整數估算；估算策略

一、問題提出

估算一般是指個體未經過精確計算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計形式。隨著計算機的普及，一些計算工作已然不再是負擔，但由于計算機編程的復雜性，估算成了檢驗輸出答案正確性的有效手段。不僅如此，估算還廣泛應用于工農業生產以及人口普查中，在日常生活中也是一種重要的基本能力。誠然，估算在當前國際數學教育改革中受到不少學者專家的關注。但目前在我國現行小學數學教學大綱中，估算在數學課程中所占比例很少。

國內已有一些學者對小學兒童估算能力的發展、估算策略的特點作了調查研究。一些研究表明：隨著年齡的發展小學兒童的估算能力逐漸提高。[1]在對小學生估算策略的相關文獻研究中發現個體在進行估算時，選擇了多種策略，且策略的使用頻率并不相同。同時，估算策略的選擇受到計算形式或數字類型的影響。[1，2，3]這些研究大部分都著眼于認知因素和外在表現上，較少考慮情緒、態度等情感因素是對估算行為的影響。毋庸置疑情感成分對兒童的估算有著重要影響，但目前對估算情感與整數估算策略關系的研究還較少。本文試圖對此作一些粗淺的探討，以期為教學提供參考。

二、研究方法

1. 被試。小學三年級可能是整數估算能力發展的一個關鍵期，[1]本研究在蘇州某實驗小學三年級中隨機選取某班級42名學生參與問卷調查與估算測試，其中根據問卷調查結果選取15名學生用口語報告法進行估算測試。共計有效問卷40份，有效率95%。

2. 材料。本研究參考支毅君及司繼偉研究中的估算能力測試題，[1，4]編制了整數估算測試題，共24題。整數四則運算各6道題。估算情感問卷采用司繼偉編制的數學估算情感問卷。[1]估算情感包括以下四個維度：數學自信心、估算情感認同、精確答案偏好和估算有用性認同。采用Likert五點計分法，由于部分條目采用了否定式陳述，對這部分條目在統計前進行了反向計分處理，得分越高，表明估算情感越積極。

數學自信心維度包括9個條目，它主要是指個體在數學領域對自己能否成功完成任務的一般信念，它同個體愿意投入的努力程度有直接聯系；估算情感認同維度共包括8個條目，它主要是指個體完成估算任務時所持有的特有觀念。由于領域的特殊性，個體面對估算任務時，數學自信心比較高的個體不一定就認為自己在估算領域同樣也能取得成功；精確答案偏好維度共包括5個條目，由于估算都是在不需要或不可能給出問題的大致解決方案，必然有誤差的存在。個體能否容忍或在多大程度上容忍很可能影響到其實際估計行為；估算有用性認同共包括3個條目，它主要是指個體是否意識到了估算的實際用途，這方面同個體完成估算任務的認真程度有聯系.該問卷內部一致性系數為0.73。

通過有關小學生整數四則運算所采用的估算策略的文獻分析，及口語報告法估算測試中學生所采用的估算策略主要有五種，分別是粗略心算、湊整（先補償）、取整（四舍五入）、截取、調整并修飾（后補償）。[1，2]

粗略心算是指在看到題目后，馬上習慣性地按照有關的計算法則進行心算。只是題目數字過大或運算過于繁瑣而不得不報告一個近似答案。湊整（先補償）是指對算式中某個數字進行調整，以和其他數字形湊整成整十或整百答案，從而簡化運算。如，可以把28+75估算為25+75或28+72。取整（四舍五入）是指將題中某些數字向最近的整十、整百、整千調整，主要是降低非零數字的個數，以便于簡化運算。如可以把368-97估算為370-100。截取是指對題中的數字進行舍取，只保留幾位數字并補零，然后進行心算。如可以把353÷22估算為300÷20。調整并修飾（后補償）將問題中的某些數字調整為最近的整十、整百、整千數，然后進行心算得到粗略答案，最后根據實際情況進行增減以得到更接近精確答案的估算值。如，可以把64×38估算為60×30=1800，再加上500修飾結果為2300。

以這40名被試本學期期中期末兩次考試平均成績作為數學成就參照。

3. 程序。在主試指導下，先由被試完成數學估算情感問卷，從然后再實施估算測試。估算測試時間限定在5分鐘之內.通過對估算情感問卷的統計，把估算情感分為高、中、低三組（前30%為高分組、平均分上下15%為中分組、后30%為低分組），從每段中分別隨機選取5名學生，共15名學生采用口語報告法完成估算測試題。

4. 評分標準語數據處理。在估算測試卷中計分方式如下，在實際答案10%之內的記3分，10%～20%之間的估計答案記2分，20%～30%之間的答案記1分，精確答案在30%之外的答案均記0分。[5]

采用SPSS13.0軟件進行統計分析。

三、結果與分析

1. 估算成績及與數學成就相關性

表1 三年級學生整數估算平均分和標準差（n=40）

從上表可以看出，估算成績整體均分偏低。整數加減法得分高于整數乘除法題。整數乘除法題方差較大。此外，測試卷中一道四個數連加估算題得分最低，均分為1.4，方差為0.3。

總體來看，三年級學生整數估算測試成績成正態分布，且與數學成就顯著正相關（r=0.53，p<0.01）。

2. 估算策略運用情況

從圖1可以看出，15位訪談者在解24道整數估算題時，使用頻數最高的是取整（四舍五入），其次是調整并修飾（后補償）策略；在解加法估算題時湊整（先補償）策略頻數高于其他估算題。

3. 估算情感問卷得分情況

表2估算情感各維度得分及其估算成績的關系（n=40）

（注：*p<0.05，** p<0.01）

從表2中可以看出，估算情感四維度中精確偏好得分最高，其次是有用認同和數學自信心，估算情感認同得分最低；數學自信心、估算情感認同及情感總分與估算成績呈顯著正相關，精確偏好與估算成績相關不顯著。

4. 估算策略與估算情感的關系。從圖2可以看出，進行加法估算時，低估算情感組使用粗略心算和截取的頻數高于其他組，而湊整、取整、調整并修飾策略均低于其他組別。

表3 不同估算情感組別在加法估算中策略使用的差異性檢驗（T值）

（注：*p<0.05，** p<0.01）

從表3可以看出，進行加法估算時，低分組與高、中組間在粗略心算、湊整、取整、截取、調整并修飾（后補償）均存在顯著差異；高、中組在湊整策略使用上存在顯著差異。

從圖3中可以看出，進行減法估算時，低分組使用粗略心算頻數高于其他兩組；高分組取整、截取、調整并修飾的使用頻數都高于其他兩組。

表4 不同估算情感組別在減法估算中策略使用的差異性檢驗（T值）

（注：*p<0.05，** p<0.01）

從表4可以看出，進行減法估算時，高低組在粗略心算及調整并修飾策略使用上差異極其顯著；中低組粗略心算使用上差異顯著。

從圖4可以看出，進行乘法估算時，低分組使用粗略心算頻數高于其他兩組；高分組取整、截取、調整并修飾使用頻數高于其他兩組；高、中組使用調整并修飾策略頻數接近。

表5 不同估算情感組別在乘法估算中策略使用的差異性檢驗（T值）

（注：*p<0.05，** p<0.01）

從表5可以看出，在進行乘法估算時，高低組粗略心算、取整及調整并修飾策略使用上差異顯著，中低組在粗略心算、取整、調整并修飾策略使用上差異顯著。

從圖5可以看出，進行除法估算時，高、中組使用取整、調整并修飾頻數接近且高于低分組。

表6 不同估算情感組別在除法估算中策略使用的差異性檢驗（T值）

（注：*p<0.05，** p<0.01）

從表6可以看出，高低組在進行除法估算時粗略心算及調整并修飾策略使用上差異極其顯著，中低組粗略心算使用上差異顯著。

此外，高低組間使用策略總頻數差異極其顯著（T=2.65，p<0.01），中低組間使用策略總頻數差異也極其顯著（T=2.15，p<0.01）。

四、討論

本研究統計數據表明，學生整數估算整體成績偏低。按照課標要求，在數學教學中雖然設置了估算教學，但其所占總課時比例極小，學生理解估算意義，熟練估算方法的時間也會很少。這可能是導致整數估算整體成績偏低的原因之一。

測試中一道四個三位數連加估算題得分最低，對15名學生進行訪談，他們對多個三位數連加很陌生，“不知如何下手”，又“擔心時間不夠”，21%的被試者此題未完成。

我們從表1可以看出，整數加減法得分高于整數乘除法題。由于三年級學生剛剛學習兩位數乘兩位數、三位數除以一位數，相對于整數加減法而言部分學生還不熟練。可能是影響整數乘除法估算成績的一個因素。此外，從對15位學生的口語報告的統計中發現，部分學生在進行整數乘除法估算時，使用取整及修飾策略還不熟練（極易與整數加減法估算中的修飾混淆），甚至從不使用該策略。

我們從相關性分析可以看出，估算成績與數學成就顯著正相關。這與支毅君的研究相一致。[4]

我們對學生在解整數估算題時使用策略頻數的統計中發現，使用頻數最高的是取整（四舍五入），其次是調整并修飾（后補償）策略；在解加法估算題時湊整（先補償）策略頻數明顯高于其他估算題。筆者對任課數學教師進行了訪談，了解到“在估算教學中取整（四舍五入）是教學中使用最普遍的估算方法，多數學生使用比較熟練”。但近半數學生使用取整（四舍五入）方法進行乘除法估算時，由于沒有使用或錯誤使用調整并修飾（后補償）策略，使得結果出現很大的偏差（超出準確答案30%）。這可能也是估算總分偏低的一個原因。

我們從表2可以看出，在估算情感四維度中精確偏好得分最高，這與司繼偉的研究結論相一致。[1]這與我們教學中傳統問題的設置方法不無關聯，其次是有用認同。這與徐群飛等人研究結果相一致。[3]最低得分是估算情感認同部分。估算情感問卷調查中，半數以上學生“每當老師說要進行估算考試時，感到有些緊張”，4/5的學生認為自己“遇到比較難的估算題，肯定算不出來”。

我們的研究結果還表明，數學自信心、估算情感認同及情感總分與估算成績呈顯著正相關，而精確偏好與估算成績相關不顯著。這表明良好的數學自信心、積極的估算情感有利于提高估算成績，而精確偏好對估算表現影響不明顯。

我們從統計圖表可以看出，低估算情感組在進行加、減、乘估算時，使用粗略心算策略頻數高于其他組別，而湊整、取整、調整并修飾策略均低于其他組別，與其他組別差異顯著。結合對口語報告相應部分結果的統計，我們發現低分組進行加、減、乘估算時都是先粗略心算，再選擇其他策略，或不再使用其他策略。而進行粗略心算時帶有猜測的性質，效率較低，且80%的結果偏差超過精確答案30%。這與國內外一些學者研究一致。[3，6，7]低估算情感組在進行除法估算時，使用粗心策略頻數與其他兩組差異不顯著。這可能是低估算情感組在面對除數都是一位數的除法估算時（除數是兩位數的除法還未學），只要處理被除數一個數的原因。

高估算情感組在進行估算時使用調整并修飾（后補償）策略頻數要高于中低組，且與低分組差異顯著。此外，統計結果表明高低組間、中低組間使用策略總頻數差異極其顯著，高、中組在進行估算時同時使用了兩種或兩種以上策略。這與陳英和等人研究結論一致。[8]這表明良好的估算情感對估算策略的選擇以及使用頻數都有一定影響。

參考文獻：

[1]司繼偉.小學兒童估算能力研究[D].西南師范人學博士學位論文.2002.

[2]陳麗蘭.9-12歲兒童估算策略選擇的發展研究[D].華南師范大學碩士論文，2007.

[3]徐群飛，李俊.中小學生估算意識及策略的調查研究[J].數學教育學報，2006（3）.

[4]支毅君.我國國小學生估算概念之研究[J].臺東師院學報，1996，7，1-51.

[5]Dowker，A.D.Young children's addition estimates[J].Mathematical Cognition，1997，3，141-154.

[6]Montague M，Garderen D V A.Cross-Sectional Study of Mathematics Achievement， Estimation Skills and Academic Self-Perception in Students of Varying Ability[J].Journal of Learning Disabilities，2003，36（5）：437-448.

[7]張云仙.學業不良生與學優生估算能力對比研究[J].數學教育學報，2008（4）.

[8]陳英和，耿柳娜.小學一至三年級兒童加減法策略選擇的發展特點研究[J].心理發展與教育，2005，（2）.