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一、選擇題

1. 如圖1，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中點，點P在矩形的邊上沿A—B—C—D運動，則△APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系用圖象表示大致為（ ）

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2. 如圖2，△ABC的面積為1．第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連結A1，B1，C1，得到△A1B1C1 ．第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連結A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此規律，要使得到的三角形的面積超過2011，最少需經過（ ）次操作.

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

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3． 如圖3，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，且BC=2 cm，點F是弦BC的中點，∠ABC=60°． 若動點E以2 cm/s的速度從點A出發沿著A—B—A方向運動，設運動時間為t s（0≤t<3），連結EF. 當△BEF是直角三角形時，t的值為（ ）

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A． ■ B． 1

C． ■或1 D． ■或1或■

二、填空題

1. 已知：如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點B1，C1的坐標分別為（1，0），（1，■），將△OB1C1繞原點O逆時針旋轉60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2 ．將△OB2C2繞原點O逆時針旋轉60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB3=OC2，得到△OB3C3 . 如此下去，得到△OBnCn .

（1）m的值是_______________.

（2）在△OB2011C2011中，點C2011的坐標為_____________．

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2. 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6，點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B，C重合），若DA=DE，則AD的取值范圍是_________.

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三、解答題

1. 已知關于x的一元二次方程mx2－（3m－2）x+2m－2=0．

（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍.

（2）在（1）的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=mx2－（3m－2）x+2m－2總過x軸上的一個固定點.

（3）若m為正整數，且關于x的一元二次方程mx2－（3m－2）x+2m－2=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=mx2－（3m－2）x+2m－2向右平移4個單位長度，求平移后的拋物線的解析式．

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2. 如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，點E是AB的中點，過點E作射線EF∥BC，交CD于點G，AB，AD的長恰好是方程x2－4x+a2+2a+5=0的兩個相等實數根，動點P，Q分別從點A，E出發，點P以每秒1個單位長度的速度沿射線AB由點A向點B運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿EF由點E向點F運動，設點P，Q運動的時間為t.

（1）求線段AB，AD的長.

（2）如果t>1，DP與EF相交于點N，求△DPQ的面積S與時間t之間的函數關系式.

（3）當t>0時，是否存在△DPQ是直角三角形的情況？如果存在，請求出時間t；如果不存在，請說明理由．

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3. 已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問題:

（1）如圖7，當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=________.

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（2）如圖8，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且∠ACB=90°，則CD=________；

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（3）如圖9，當∠ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求CD的最大值及相應的∠ACB的度數．

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4. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）．

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（1）如圖10，若點D在線段BC上運動，DE交AC于點E．

①求證：△ABD∽△DCE.

②當△ADE是等腰三角形時，求AE的長.

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（2）①如圖11，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點E′，是否存在點D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由.

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②如圖12，若點D在BC的反向延長線上運動，是否存在點D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由．

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