巧思妙解之幾何

近幾年來，中考試題在注重考查基礎知識的同時，更注重考查具體情境中對相關幾何圖形、幾何應用的分析與問題的解決，在證明或解答有關幾何題時，有時候不能直接解答，若能根據幾何圖形的性質、特征（變換、對稱、特殊性、分類）及方法與技巧，將陌生的、未知的、難以解決的、不規則圖形轉化為熟悉的、簡單的、已知的、規則圖形，或實現零星、孤立的條件有機綜合，便能輕松獲解.

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巧用變換化不規則為規則圖形

適用范圍：變換在解題中主要體現在以下兩個方面：一是在題設條件和結論關系不明顯或條件不易集中利用的情形下，通過變換操作可起到鋪路架橋的作用；二是圖形錯綜復雜，但圖形中的量與量之間關系多，這時也可看能否使用變換法，改變部分圖形的位置，使題目中隱藏的關系明了.

■ 圖1分別以正方形ABCD的邊AB，AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長為a，則陰影部分的面積是______.

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■ 有關圖形面積的計算，常直接運用圖形面積計算公式與間接計算（相關圖形面積的加減拼湊）.

■ 如圖2，連結AC，BD，則繞BD中點將圖中的①順時針旋轉90°到圖中③，將圖中②繞BD中點逆時針方向旋轉90°到圖中④，則原圖中陰影部分的面積就和△DBC的面積相等. 本題解題關鍵是把握陰影部分的面積與整體圖形（或相關圖形）面積之間的關系，通過相關圖形的割補或等積變形等，實現不規則圖形向規則圖形的轉化.

■ 圖中陰影部分的面積S=S■=■S■=■a2.

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巧用對稱，化分散為集中

適用范圍：對于某些幾何問題，如果能作出圖形的對稱軸，或作出已知點關于直線或某點的對稱點，構造出軸對稱圖形或中心對稱圖形，這樣就能將分散的條件集中起來，容易找到解題的策略與途徑．

■ （2010江蘇淮安）

（1）觀察發現 如圖3，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小． 作法如下：作點B關于直線l的對稱點B′，連結AB′，與直線l的交點就是所求的點P.

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再如圖4，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小．作法如下：作點B關于直線AD的對稱點，恰好與點C重合，連結CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______．

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（2）實踐運用 如圖5，已知⊙O的直徑CD等于4，■的度數為60°，點B是■的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

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（3）拓展延伸 如圖6，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

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■ 將線段和的距離最短問題醞釀于各種軸對稱的基本圖形（角、等腰三角形、特殊的平行四邊形、圓、坐標系等）中，關鍵是作出點B或A關于某直線l的對稱點，然后利用線段垂直平分線的性質、兩點之間線段最短來分析與解決.

■ 本題是課本著名原題“泵站問題”的應用與拓展，在不對稱的圖形（任意四邊形）內探究兩角相等的動點，關鍵是借助“軸對稱”化歸與轉化垂直平分線的性質.

■ （1）■.

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（2）如圖7，作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連結OA，OB，OE，連結AE交CD于一點P，AP+BP最短. 因為■的度數為60°，點B是■的中點，所以∠AEB=15°. 因為點B關于CD的對稱點為E，所以∠BOE=60°. 所以△OBE為等邊三角形. 所以∠OEB=60°. 所以以∠OEA=45°. 又因為OA=OE，所以△OAE為等腰直角三角形. 所以AE=2■.

（3）找點B關于AC的對稱點E，連結DE，延長交AC于P，圖略.

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由點、邊的不確定性，分類考慮圖形的形狀

適用范圍：由于點、邊以及相關圖形形狀的不確定性，需要對問題進行分類討論，如等腰三角形中底與腰的不確定，需要分情況進行討論；如探究平行四邊形時，已知線段可能作平行四邊形的邊，也可能作對角線；又如全等三角形、相似三角形的對應點不確定時要進行分類討論. 圖形在運動過程中，在某些特殊情況下會有特殊的性質，因此要分類考慮解答．

■ 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，點D為AC邊上一點，且AD=3 cm，動點E從點A出發，以1 cm/s的速度沿線段AB向終點B運動，運動時間為x s．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點F． 設BF長為y cm．

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（1）當x=_____s時，DE⊥AB.

（2）求在點E運動的過程中，y與x之間的函數關系式及點F的運動路線的長.

（3）當△BEF為等腰三角形時，求x的值.

■ 探究等腰三角形時，通常有一線段的長是確定的，這一確定的邊可能作等腰三角形的腰，也可能作等腰三角形的底．

■ 當點E在AB上運動時，點F也隨之運動，故該三角形的三邊是動態變化的，解決時常化動為靜，用相關變量表示該三角形的三邊長，借助等腰三角形中的兩邊相等列方程求解．

■ （1）■.

（2）因為在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，所以∠A＝∠B＝45°，AB=4■. 所以∠ADE+∠AED＝135°. 又因為∠DEF=45°，所以∠BEF＋∠AED＝135°. 所以∠ADE＝∠BEF. 所以△ADE∽△BEF. 所以■=■，即■=■. 所以y=－■x2+■x=－■x－2■2+■. 所以當x=2■時，y有最大值■. 所以點F的運動路程為■ cm.

（3）①若EF＝BF，則∠B=∠BEF. 又因為△ADE∽△BEF，所以∠A=∠B=∠BEF∠ADE=45°. 所以∠AED=90°. 所以AE=DE=■. 因為動點E的速度為1 cm/s，所以此時x＝■ s.

②若EF＝BE，則∠B＝∠EFB. 又因為△ADE∽△BEF，所以∠A＝∠AED＝45°. 所以∠ADE＝90°. 所以AE=3■. 因為動點E的速度為1 cm/s，所以此時x=3■s.

③如圖9，若BF=BE，則∠FEB=∠EFB. 又因為△ADE∽△BEF，所以∠ADE＝∠AED. 所以AE＝AD＝3. 因為動點E的速度為1 cm/s，所以此時x＝3 s.

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綜上所述，當△BEF為等腰三角形時，x的值為■ s或3■ s或3 s.