巧思妙解之代數

對于初中代數知識，我們如果細心研究，就會發現有不同的解題方法，甚至有些解題方法會讓我們有耳目一新的感覺，把這些解題技巧串聯起來，“巧思”“巧解” “巧算”將不再是望塵莫及的事！本文試對求解代數試題的一些技巧進行點撥，希望同學們有所幫助.

■ 裂項法

適用范圍：當分式的最簡分母因式比較多時，不能按照常規思維直接通分，即找出各分母的最簡公分母，然后相加減. 此類題目的特征一般是：每個分式的分母是兩項代數式的乘積，并且這兩個代數式的差都是一個定值，我們可將每一個分式先拆成兩項，如■=■－■，通過各個分式拆項，正負抵消一部分，簡化原式，然后再通分解答.

■ 化簡：■+■+■．

■

原式=■+

■+

■=

■=

■=

■=■.

■ 原式= ■－■+■－■+■－■=

■－■=■=

■.

■ 反復加減法

適用范圍：解形如ax+by=m，cx+dy=n的二元一次方程組，常規思維是通過代入消元或加減消元達到求解的目的，如果該類方程組符合ax+by=m，bx+ay=n的形式，即系數出現輪換對稱，我們可以將方程組中的方程直接相加、減，得到新的方程組，再將得到的新的方程組加、減，如此反復，便可巧妙地迅速求解，我們稱之為“反復加減法”.

■ （2011江蘇泰州）解方程組3x+6y=10，6x+3y=8， 并求■的值.

■ 利用加減消元法或代入消元法解方程組.

由3x+6y=10，①6x+3y=8，② ①×2-②，得9y=12，所以y=■. 把y=■帶入①，得3x+6×■=10，所以x=■.

所以原方程組的解為x=■，y=■. 所以■=■.

■ 由3x+6y=10，①6x+3y=8， ②①+②，得9x+9y=18，所以x+y=2. ③

②-①，得3x－3y=－2.

所以x－y=－■.④

③+④，得x=■；③-④得y=■.

所以原方程組的解為x=■，y=■.

所以■=■.

■ 結論構造法

適用范圍：在代數式的求值過程中，根據題設條件，在結論式中構造題設的特征，一般所給出的代數式的值有兩個，并且滿足x=a+■，y=a－■的特征出現，即x，y互為有理化因式（x，y的積是有理式）時，我們可以以x，y相加（減）或相乘（除）來構造滿足題設的對象，并借助該對象解決問題.

■ （2010廣西桂林）先化簡，再求值：■+■÷■，其中x=■+1，y=■－1.

■原式=■+■÷■=

■×■=■=■.

當x=■+1，y=■－1時，原式=■=■=1.

■ 因為x=■+1，y=■－1，所以x+y=2■，x－y=2，xy=2.

當x+y=2■，x－y=2，xy=2時，

原式=■+■·■.■=■·■+■·■=

■+■=■=1.

■ 已知x=■，y=■，求3x2－5xy+3y2的值.

■ 因為x=■=（■-■）2=5－2■，y=■=（■+■）2=5+2■，所以3x2－5xy+3y2=3·（5－2■）2－5（5－2■）（5+2■）+3（5+2■）2=3×（49－20■）－5+3×（49+20■）=289.

■ 因為x+y=■+■=■－■2+■+■2=10，

xy=■·■=1，

所以3x2－5xy+3y2=3（x+y）2－11xy=3×102－11×1=289.

■ 建模法

適用范圍：在求點的分布位置時，如果點的坐標是相關聯的代數式，我們可以依據其特征將代數關系建立一個數學模型，一方面是為了簡化解題過程中的復雜現象，另一方面是借助于模型的性質去解決問題，這樣，模型中的數學性質或關系可以明顯地反映對象的實質.

■ 點（x，3-x）一定不在第______象限.

■ 用特殊值代入法列舉，可以列出一些點，由點的坐標規律確定點的位置，解決過程較煩瑣.

■ 設y=－x+3，因為k=－1<0，b=3>0，所以函數y=－x+3的圖象分布在第一、二、四象限，則點（x，3-x）一定在第一、二、四象限，不在第三象限.

■ 分析法

適用范圍：當按照一般的方法解題比較煩瑣或不能解決時，我們可以分析式子間的因果關系，從求證的式子出發，“由果索因”，逆向逐步找這個式子成立需要具備的條件，從而達到解決問題的目的.

■ 解方程：■+■+■=■（x為正整數）.

■ 因為■+■+■=■，所以12（x+1）（x+2）+12x·（x+2）+12x（x+1）=13x（x+1）（x+2）.

所以13x3+3x2－36x－24=0. 顯然出現高次方程，無法解決，利用列舉法也無法求解.

■ 根據題意知■>■>■，所以■>■×■，■<■×■. 所以■

■ 特殊值法

適用范圍：在分解因式或者是進行其他代數式運算時，如果不會用正常方法求解，我們可以用特殊值代替題設中的普遍條件，得出特殊的結論. 當題目已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將變量取一些特殊數值或特殊位置，或者一種特殊情況來求出這個定值，從而簡化推理、論證的過程，但代入特殊值時，一般不要使代數式的值為0.

■ （2011山東濰坊）分解因式：a3+a2－a－1=______.

■ a3+a2－a－1=（a3+a2）－（a+1）=a2（a+1）－（a+1）=（a+1）（a2－1）=（a+1）2（a－1）.

■ 設a=3，則原式=27+9－3－1=32=16×2=42×2. 因為a=3，所以42×2=（a+1）2（a－1）. 所以a3+a2－a－1=（a+1）2（a－1）.