巧思妙解之函數

函數是近幾年來中考的核心內容，也是每套試題所占分值最大的知識板塊，而且各種題型的“把關題”均涉及函數或以函數為載體的探究問題．可見，做好函數的復習迎考意義十分重要．本文結合2011年各地中考新穎的函數考題，與同學們一起剖析常見思路，并進一步打破常規，展示問題的技巧性思路，快速求解，減少考試中的“隱性失分”.

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數形結合

適用范圍：數形結合在函數領域有著十分廣泛的應用，從函數角度看方程、不等式等應用時無不體現著數形結合思想；另有大量的經典問題圍繞數形結合設計一些不配圖象的試題，此時如果忽略借助圖象，將會陷入煩瑣的求解過程．

■ （2011湖北黃岡）已知函數y=（x－1）2－1，x≤3，（x－5）2－1，x＞3，若使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

■ 將y=k分別代入函數解析式中，有（x-1）2-1=k，（x-5）2-1=k，對于這兩個一元二次方程，當它們各有兩個不等實數根時，才可能出現3個x的值使y=k，且此時這兩個方程有且只有一個根是相等的，于是有（x-1）2=（x-5）2，解得x=3，此時k=3；經檢驗，當k=3時，使y=k成立的x值恰好有3個.

■ 作出兩個拋物線的圖象（如圖1），分析可知它們交于（3，3），因而直線y=k只有過y=3時，才會與這組圖象有3個交點，即此時y=3；當y>3時，交點為2個；當－1

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■ D.

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“雙”曲線面積定值問題的解法

適用范圍：近幾年來，兩種反比例函數的圖象的一個分支組合在一個坐標系中，形成“雙”曲線，這類問題通常設計成與面積定值相關的試題來考查．

■ 如圖2，直線l經過點A（1，0），且與曲線y=■（m＞0）交于點B（2，1）． 過點P（p，p-1）（p＞1）作x軸的平行線，分別交曲線y=■（m＞0）和y=－■（m＜0）于M，N兩點．

（1）求m的值及直線l的解析式.

（2）△AMN的面積是定值嗎？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.

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■ （1）略.

（2）由P（p，p-1）（p＞1），知點P在射線AB上運動，△AMN的面積是定值．設MN交y軸于點G，連結ON，OM，AG，由MN∥x軸，易得S△ANG=S△ONG=1，S△AMG=S△OMG=1，于是S△AMN=S△ANG+S△AMG=S△ONG+S△OMG=2.

■ 思路1，由P（p，p-1）可知點P在直線l上，且得M■，p-1，N-■，p-1，所以MN=■． 所以S△AMN=■·■·（p-1）=2．

思路2，設Ma，■，根據對稱性有MN=2a，所以S△AMN=■·2a·■=2.

■ （1）把B（2，1）代入y=■（x＞0）中，可得m=2. 設直線l的解析式是y=kx+b，把A（1，0），B（2，1）代入y=kx+b中，得0=k+b，1=2k+b， 解得k=1，b=－1. 所以直線l的解析式是y=x-1．

（2）由思路2的分析知S△AMN=■·2a·■=2.

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用“平行切線法”處理拋物線“弓形三角形面積”問題

適用范圍：我們類比圓中弓形的概念，把在拋物線中直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的弦，拋物線的弦與所對應的封閉拋物線組成的圖形叫做拋物線的弓形，拋物線的弦的兩個端點與弓形上任意一點組成的三角形叫做拋物線的弓形三角形. 下面我們關注拋物線弓形三角形面積最大值的探究．

■ （2011浙江寧波）如圖3，已知拋物線y=■x2－■x上有兩點B（6，6），O（0，0），N是直線OB右下方拋物線上的任意一點，試求△OBN面積的最大值以及點N的坐標.

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■ 思路1（補形），如圖3，分別過點N，B作x軸的垂線，垂足分別為點G，H，可利用S△BON=S△OBH－S△ONG－S梯形NGHB 建立起二次函數的模型，通過二次函數的極值求出拋物線弓形三角形面積的最大值.

思路2：（分割圖形）考慮到點N是拋物線弓形上的動點，過這一點作y軸的平行線，就把三角形分成兩個部分，所求三角形的面積就等于這兩個三角形的面積之和. 如圖4，過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于點H，利用S△BON=S△QON+S△BQN，構造二次函數來處理．

■ “常見思路”是基于“平行切線法”. 如果過動點N作弦OB的平行線，則直線與弓形中的拋物線有兩個交點，改變點N的位置，則交點之間的距離發生變化，點N到OB的距離也發生變化，兩交點之間的距離越小，弓形三角形的面積越大，當兩交點之間的距離為零時，弓形三角形的面積最大．

■ 思路1，如圖3，分別過點N，B作x軸的垂線，垂足分別為點G，H. 設N x，■x2－■x，則S△BON= S△OBH－S△ONG－S梯形NGHB=

■×OH×BH－■×OG×NG－■×（NG+BH）×GH=

■×6×6－■×x×■x2－■x－■×■x2－■x+6×（6－x）=

－■x2+■x=－■（x－3）2+■（0

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思路2，如圖4，過點N作x軸的垂線NG，垂足為點G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于點H，設Nx，■x2－■x，由于B（6，6），由直線OB的解析式為y=x知Q（x，x）. 于是S■=S■+S■=■×QN×OG+■×QN×GH=■×QN×（OG+GH）=■×QN×OH=■x－■x2－■x×6=－■x2+■x=－■（x－3）2+■（0

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思路3，如圖5，過點N作OB的平行線ST，當直線ST與拋物線y=■x2－■x相切時，點N到直線OB的距離最大，△OBN的面積最大. 設直線ST的解析式為y=x+m，解方程組y=x+m，y=■x2－■x， 消去y得■x2－■x－m=0，即x2－6x－4m=0. 如果ST與拋物線相切，則（－6）2+16m=0，解得m=－■. 方程x2－6x－4m=0變為x2－6x+9=0，解得x=3，點N的坐標為3，■. 由O，B，N三點坐標，可求得△OBN的面積為■.