配方法的應用

配方法的作用在于改變代數式的原有結構，是求解變形的一種手段；配方法的實質在于改變式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具. 配方法在代數式的化簡求值、解方程、解最值問題、討論不等關系等方面有著廣泛的應用.

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把一個式子或一個式子的某一部分化成完全平方式或幾個完全平方式的和、差的形式，這種方法叫“配方法”． 它的理論依據是完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2． 配方法的難點是配方，要求同學們必須熟練掌握公式a2±2ab+b2，判斷什么是a或b，或ab，怎樣從a2，2ab這兩項去找出b，或從a2，b2這兩項去找出2ab，或從2ab去找出a2和b2. 同學們要熟練掌握這些基本方法，從而做到心中有數，配方有路可循.

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解題時，何時配方，需要我們適當預測，并且會合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，應具有整體把握題設條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式，從而配方.

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■ 應用于解方程（組）

■ 求解：2x2－y2+x－2y－7=0，x－y－1=0.

■ 本題可用代入法將第二個方程變形為x=y+1，代入第一個方程，從而解方程，但計算煩瑣. 若考慮運用整體思想，將（y+1）看做一個整體，將第一個方程配方，可以達到快速簡便求解的目的.

■ 將第一個方程配方得2x2+x-6-（y+1）2=0，將第二個方程變?yōu)閥+1＝x，代入前一個方程得x2+x-6＝0，解之得x■＝-3，x■＝2，從而可求出y■=-4，y■＝1．所以原方程組的解為x■=－3，y■=－4， x■=2，y■=1.

■ 解方程組時，運用整體思想將高次方程配方，可以降低運算難度，快速準確解題.

■ 應用于因式分解

■ 閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法． 配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=（a±b）2． 例如：（x-1）2+3、（x-2）2+2x，■x-22+■x2是x2-2x+4的三種不同形式的配方（即“余項”分別是常數項，一次項，二次項——見橫線的部分）．

請根據閱讀材料解決下列問題：

（1）比照上面的例子，寫出x2-4x+2三種不同形式的配方.

（2）將a2+ab+b2配方（至少寫出兩種形式）.

（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值．

■ 本題以“閱讀材料”的形式展示給同學們，考查同學們的模仿能力，既取材于課本，又是對課本的拓展與引申. 例如，課本中僅有x2-2x+4 =（x-1）2+3，即“余項”是常數項，而沒有“余項”是一次項、二次項的情景，這道題既是對課本的繼承和創(chuàng)新，又是運用配方法的一道好的綜合題.

■ （1）形式1：x2-4x+2=x2-4x+4-2=（x-2）2-2（“余項”是常數項）．

形式2：x2-4x+2=［x2-2■x+（■）2］+（2■-4）x=（x-■）2+（2■-4）x（“余項”是一次項）．

形式3：x2-4x+2=2（x2-2x+1）-x2=2（x-1）2-x2 （“余項”是二次項）．

（2）形式1：a2+ab+b2=a2+2ab+b2–ab=（a+b）2-ab．

形式2：a2+ab+b2=a2+ab+■b2 +■b2=a+■b2+■b2．

形式3：a2+ab+b2=

■a2+ab+b2 +■a2=

■a+b2+■a2．

（3）a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=

a2-ab+■b2+3■b2-b+1+（c2-2c+1）=a-■b2+3■b-12+（c-1）2=0，從而a-■b=0，■b-1=0，c-1=0，即a=1，b=2，c=1． 所以a+b+c=4．

■ 配方法是初中數學的一種重要思想方法，在解一元二次方程、把二次函數的一般式化為頂點式時都有它的身影． 解決本題時，仿照推導一元二次方程的求根公式與拋物線的頂點坐標公式的方法，體現了從特殊到一般的數學思想．

■ 應用于化簡求值

■ 已知x=■，求代數式（1+x）·（1+x2）·（1+x4）·（1+x８）…（1+x64）的值.

■ 若將x的值直接代入求解，計算量相當大，不足為取． 用配對法給（1+x）配以（1-x），再將其積與（1+x2）配對相乘，直至（1+x64），則可得如下巧解.

■ 原式=

■=

■=

■=…=

■=

■.

所以當x=■時，原式=■=2－2－127.

■ 在對代數式求值時，適當運用配方法，可以簡便計算.

■ 應用于判定三角形的形狀

■ 已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，則△ABC的形狀為__________.

■ 已知方程中有三個未知數，可以考慮配方，但題目中的方程不能直接配方，因此需要“湊”，此時可以在方程兩邊同時乘以2配方求解.

■ 等式兩邊乘以2，得2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac=0.

配方得（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）=0，即（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0.

由非負數的性質得a-b=0，b-c=0，c-a=0，

所以a=b，b=c，c=a，即a=b=c.

故△ABC是等邊三角形.

■ 運用配方法解題的關鍵是恰當的“湊配”.

■ 在證明中的應用

■ 證明方程x8－x5+x2+x+1=0沒有實數根.

■ 可將方程的左邊進行一定的配湊，使之成為幾個非負數的和的形式，不過配湊的過程對于同學們來說比較難，大家可以從下述解答過程中獲得一些思路.

■ 因為x8－x5+x2+x+1=x8－x5+■x2+■x2+■x+■+■=x4－■x2+■x+■2+■>0，即對所有實數x，方程左邊的代數式的值均不等于0，因此，原方程沒有實數根.

■ 這是“配方法”在代數證明中的應用. 要證明方程x8－x5+x2+x+1=0沒有實數根，似乎無從下手，而用“配方法”將其變成完全平方式后，便“柳暗花明”了.

■ 在不等式、比較大小中的應用

■ 對于任意實數x，試比較兩個代數式3x3-2x2-4x+1與3x3+4x+10的值的大小.

■ 比較兩個代數式的大小，可以作差比較. 本題兩個代數式相減后，可以得到一個二次三項式，將此二次三項式配方后，即可判斷差的正負，從而可以判斷兩個代數式的值的大小.

■ （3x3-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10）=-2x2-8x-9=-2（x+2）2-1<0，所以對于任意實數x，恒有3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10.

■ 此題也是考查“配方法”在比較大小中的應用，通過作差法，然后拆項、配成完全平方，使此差大于零而比較出大小.

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配方法是對數學式子進行一種定向變形——配成“完全平方”的技巧. 在解決相關問題時，將目標看成某個變量的二次式，并將其配成一個完全平方與一個常量的代數和的形式，以達到發(fā)現和研究問題性質、化繁為簡的目的，同學們一定要細細品味這種方法.