函數(shù)及其圖象思維闖關

1. 一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質.

2. 待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關系式.

3. 會用一次函數(shù)、反比例函數(shù)解決實際問題.

思維走勢

1正比例函數(shù)y=kx的圖象具有什么性質？

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2?搖含45°的直角三角形有何性質？

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3?搖如何確定點M的坐標？

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思維走勢

1成軸對稱的兩個圖形有何性質？

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2?搖含30°角的直角三角形和等邊三角形有何性質？

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■我們給出如下定義：如圖1，平面內兩條直線l■，l■相交于點O，對于平面內的任意一點M，若p，q分別是點M到直線l■和l■的距離（p≥0，q≥0），稱有序非負實數(shù)對［p，q］是點M的距離坐標. 在平面直角坐標系xOy內，直線l■的關系式為y=x，直線l■的關系式為y=■x，點M是平面直角坐標系內的點.

問題 若q=0，且p+q=m（m>0），如圖2，在第一象限內，求距離坐標為［p，q］時，點M的坐標．

刷新思維 因為q=0，所以點M在l2上，如圖3，在第一象限內取點Ma，■a，過點M作MA⊥l1交l1于點A，過點M作BC∥y軸，分別交l1、x軸于點B和點C，則OC=BC. 因為p+q=m（m>0），所以MA=m. 因為∠B=45°，所以BM=■AM=■m，BC=BM+MC=■m+■a. 由OC=BC得a=■m+■a，解得a=2■m. 所以M（2■m，■m）.

■

■如圖3，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B（2，0），∠AOB＝60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為y= ■ ，在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′.

問題1 當點O′與點A重合時，點P的坐標是_______.

刷新思維 當點O′與點A重合時，因為∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′，AP=OP，所以△AOP是等邊三角形. 因為B（2，0），所以BO=BP=2. 所以點P的坐標是（4，0），故答案為（4，0）．

問題2 設P（t，0），當線段O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是__________.

刷新思維 設l與OA交于M，因為∠AOB=60°，∠PMO=90°，所以∠MPO=30°，所以OM=■t，OO′=t. 過點O′作O′N⊥x軸于點N，∠OO′N=30°，所以ON=■t，NO′=■t. 所以O′■t， ■t. 根據(jù)對稱性可知點P在直線O′B′上，設直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得■tk+b=■t，tk+b=0， 解得k=－■，b=■t. 所以y=－■x+■t. ①因為∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，所以OA=4，AB=2■. 所以A（2，2■）. 代入反比例函數(shù)的解析式得k=4■，所以y=■. ②聯(lián)立①②，得■x2－■tx+4■=0，即x2－tx+4=0. ③由b2－4ac=t2－4×1×4≥0，解得t≥4或t≤-4． 所以當t≥4或t≤-4時，直線O′B′與雙曲線有交點. 容易發(fā)現(xiàn)，當點P在x軸上滑動時，點O′，B′也在滑動，不過點O′始終在直線OA上，且直線BB′始終與直線OA平行，O′B′=2. 容易求得點B′的坐標為■，■（△BPB′為正三角形）. 當點B′在雙曲線上時，有■=■，解得t=±2■；當點O′在雙曲線上時，t=±4. 所以，當4≤x≤2■或－2■≤x≤－4時，線段O′B′與雙曲線有交點.

熱點訓練

1. 已知三點A（a，1），B（3，1），C（6，0），點A在正比例函數(shù)y＝■x的圖象上.

（1）求a的值.

（2）點P為x軸上一動點.

①當△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，求點P的坐標.

②當∠APB＝20°時，求∠OAP＋∠PBC的度數(shù).

2. 如圖4，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，P是反比例函數(shù)y＝■（x＞0）的圖象上的任意一點，以點P為圓心，PO為半徑的圓分別與x軸和y軸交于點A和點B．

（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由.

（2）求△AOB的面積.

（3）已知Q是反比例函數(shù)y＝■（x＞0）的圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO長為半徑畫圓，分別與x軸和y軸交于點M，N，連結AN，MB，求證：AN∥MB.