一個基本圖形的演變

介紹基本圖形

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點M是BC的中點，∠EMF分別交AB，AC于點E，F，且BE=AF，則ME⊥MF，ME=MF.

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■ 連結AM，由于△ABC是等腰直角三角形，則有AM=BM，AM⊥BM，∠B=∠MAF. 又BE=AF，所以△BME≌△AMF. 所以ME=MF，∠BME=∠AMF. 所以∠AMF+∠AME=∠BME+∠AME=∠AMB=90°. 所以ME⊥MF.

基本圖形的演變

1. 把靜點變為動點

■ （2010山東泰安）如圖2，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點P，Q分別是AB，AC上的動點，且滿足BP=AQ，點D是BC的中點.

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（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形.

（2）當點P運動到什么位置時，四邊形ＡPDQ是正方形？試說明理由.

■ 連結AD，因為△ABC是等腰直角三角形，點D是BC的中點，且△ABC是等腰直角三角形，所以AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B.又因為BP=AQ，所以△BPD≌△AQD. 所以PD=QD，∠ADQ=∠BDP. 因為∠BDP+∠ADP=90°，所以∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°. 所以△PDQ為等腰直角三角形.

（2）由（1）知△ABD為等腰直角三角形，當P點運動到AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD=90°. 又因為∠A=90°，∠PDQ=90°，所以∠AQD=90°，四邊形ＡPDQ為矩形. 又因為DP=AP=DQ，所以四邊形ＡPDQ是正方形.

2. 把圖1中的BE=AF隱含于圖中

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■ （2002黑龍江）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，點D為BC上的任意一點，DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，點M為BC的中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結論.

■ △MEF是等腰直角三角形，理由如下：連結AM，因為∠BAC=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，易知△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE=AF. 以下證明略.

3. 把圖3中的等腰直角，即△BDE和△DCF看成是兩個獨立的、共頂點的三角形

■ 如圖4，點E，A，C在同一直線上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為EC的中點，求證：△BMD為等腰直角三角形.

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■ 解法1. 延長ED，CB交于點F，則轉化為圖3的證明，故略.

解法2. 延長DM到點N，使MN=MD，連結BN，CN，因為EM=CM，∠DME=∠NMC，所以△DME≌△NMC. 所以CN=ED=AD，∠MCN=∠MED=45°. 所以∠BCN=45°+45°=90°. 又因為∠EAD=∠BAC=45°，所以∠DAB=90°=∠NCB. 因為AB=CB，所以△DAB≌△NCB. 所以DB=NB，∠DBA=∠NBC. 又因為∠ABC=90°，所以∠DBN=90°. 所以△DBN是等腰直角三角形，且BM是斜邊DN的中線. 所以BM⊥DM且BM=DM，即△BMD是等腰直角三角形.

4. 把圖4中的△ADE繞點A順時針旋轉

■ （2007廣東廣州）在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結EC，取EC的中點M，連結DM和BM.

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（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖5，求證：BM⊥DM且BM=DM.

（2）圖5中的△ADE繞點A逆時針轉小于45°的角，如圖6，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請證明.

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■ （1）略.

（2）延長DM到點N，使MN=MD，連結BN，CN，BD. 在△EDM和△CNM中，因為EM=CM，∠EMD=∠CMN，所以△EDM≌△CNM，ED=CN，∠EDM=∠CNM. 因為∠ADE=90°，所以∠EDM+∠ADM=270°. 所以∠CNM+∠ADM=270°. 所以∠ACN+∠CAD=90°. 因為∠ACB=45°，所以∠DAC+∠BCN=45°. 因為∠BAC=45°，所以∠BAD=∠BCN. 又因為AD=DE，所以AD=CN. 因為AB=BC，所以△ADB≌△CNB. 所以BD=BN，∠ABD=∠CBN. 因為∠ABC=90°，所以∠DBN=90°. 所以（1）中結論仍然成立.

5. 把圖5、圖6中的等腰直角三角形ABC補全為正方形

■ （2009山東）如圖7，已知在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連結DF，點G為DF的中點，連結EG，CG.

（1）求證：EG=CG，EG⊥CG.

（2）將圖7中△BEF繞點B逆時針旋轉45°，如圖8所示，取DF的中點G，連結EG，CG，問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

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（3）將圖7中△BEF繞點B逆時針旋轉任意角度，如圖9所示，再連結相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？

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■ 顯然本題的證明方法與題3的證明方法完全相同，故略.

6. 把圖4中的兩個等腰直角三角形△ADE，△ABC都補全為正方形

■ （2005遼寧大連）如圖10，操作：把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG>BC），取線段AE的中點M.

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（1）探究線段MD，MF的關系，并證明.

（2）將圖10中的正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖11），其他條件不變，探究線段MD，MF的關系，并加以證明.

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■ （1）MD=MF，MD⊥MF. 延長DM交CE于點N，連結FD，FN. 因為四邊形ABCD是正方形，所以AD∥BE，AD=DC. 所以∠1=∠2. 又因為AM=EM，∠3=∠4，所以△ADM≌△ENM. 所以AD=EN，MD=MN. 因為AD=DC，所以DC=NE. 又因為四邊形CGEF是正方形，所以∠FCE=∠NEF=45°，∠CFE=90°. 又因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BCD=90°. 所以∠DCF=∠NEF=45°. 所以△FDC≌△FNE. 所以FD=FN，∠5=∠6. 因為∠CFE=90°，所以∠DFN=90°. 又因為MD=MN，所以MD=MF，MD⊥MF.

（2）仍然有MD=MF，MD⊥MF. 延長DM到點N，使NM=MD，連結FD，FN，EN. 延長EN與DC交于點H，MA=ME， ∠1=∠2，MD=MN，所以△AMD≌△EMN. 所以∠3=∠4，AD=NE. 又因為四邊形ABCD和四邊形CGEF是正方形，所以AD=DC， 所以DC=NE. 因為∠3=∠4，所以∠H=∠ADC =90°. 因為∠G=90°，∠5=∠6，所以∠7=∠8. 因為∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，所以∠DCF=∠FEN. 因為FC=FE，所以△DCF≌△NEF. 所以FD=FN，∠DFC=∠NFE. 因為∠CFE=90°，所以∠DFN=90°. 所以MF=MD， MD⊥MF.